探索數學 發現數學

孫鴻雁 耿鳳杰 王翠香

摘 要： 積分學是《高等數學》課程的主要組成部分之一，也是難點之一。首先，分析積分學出現的背景問題，指導學生從本質上理解積分的定義;其次，解析兩類積分計算公式的推導，指導學生理解數學公式;最后，分析具體例子，指導學生選取正確的微元。通過上述三個方面，引導學生站在發現者的角度探索數學，發現數學，真正理解和內化數學思想方法。

關鍵詞： 微元;積分;近似

一、 引言

微積分學是十七世紀數學中的一個最偉大創造（參看文獻），它是分析學的理論基石，也是公共基礎課《高等數學》的核心內容之一，在幾何學、物理學和實際問題中都有廣泛運用。本文討論其中的積分學部分，高等數學中的積分學包括：定積分、重積分、曲線積分、曲面積分四部分，內容繁多，既是該課程的重點之一，也是難點之一。很多學生在學習中由于忽視對積分本質的理解，往往被困于繁瑣的公式中，計算容易出錯，還不會應用，學習效率低下。

數學教育的根本目的是教學生學會思考，“授之以魚，不如授之以漁”。近年來，教育工作者越來越重視培養學生的數學素養，調動學生主動學習的積極性。主張學生是教學活動的認知主體，教師由傳統知識的知識傳授者轉化為學生知識建構的協助者和促進者，引導學生主動探索，協助構建知識網絡。利用博弈論的方法分析高等數學教學中師生合作的可能，本文也是對傳統課堂的改革，突出學生的主體地位。

本文以積分學為載體，探討作為學習活動的主體，學生該如何發現知識。首先，從積分的本質出發，梳理積分定義的四個步驟，引導學生根據各類積分的背景提出相應積分的定義。只有真正理解了積分的涵義，才能做到靈活運用其解決實際問題。其次，我們指導學生運用“以直代曲”“以不變代變”的近似思想，自行推導計算積分公式;然后，分析做近似時的難點并提出解決方法。本文以學生熟悉的內容為平臺，引導學生從發現者的角度理解數學。真正理解了的東西才能做到靈活運用。

二、 發現之旅

（一） 從積分本質出發理解各類積分的定義

下面以求密度不均勻曲線構建的質量問題為例理解積分的定義。既然曲線密度不均勻，那么我們就無法直接采用密度乘長度的方法求質量，但可以考慮做近似，然而直接把整個曲線構建近似看作密度均勻的構建，會有誤差，于是考慮先將構建分割，對每段的質量求近似，從而得整個構建質量的近似。直觀上，分割越細，近似值越接近于精確值;那么直至不可分時，所得值便是曲線構建質量的真實值。根據這一分析總結求曲線構建的質量的過程即是：

1. 分割曲線構建;

2. 任取該部分上某一點處的密度近似作為該部分的密度，然后乘該部分的弧長，得小弧段質量的近似值;

3. 各部分近似質量求和，得曲線構建的近似質量;

4. 令分割細度（即分割后小弧段長度的最大值）收斂到零，取第3步所得和式的極限，若存在，它就是曲線構建的精確質量。最后，用數學語言刻畫該問題，曲線構建即是一條曲線，密度即是定義在包含該曲線的平面區域上的二元函數，通過分割、取點（近似）、求和的方式得到積分和，該和式極限若存在，它就是第一類曲線積分。

簡言之，第一類曲線積分的定義可概括為如下四詞：有限分割、近似、求和、求極限。事實上，每種積分的定義都由這四個詞對應的四步構成，本質是相同的。理解積分的本質，不僅有助于理解各類積分，還能幫助人們從容面對各式各樣的實際應用問題。

（二） 推導積分計算公式

有了各類積分的定義后（或者把一個實際應用問題轉化成求積分的問題后），接下來人們關心其計算問題。在計算中，學生之所以會出錯，是因為沒有真正理解符號的含義，套公式時出錯。為解決這一問題，建議學生通過自行探索的方式，理解公式，然后運用。下面，我們通過分析學生出現問題比較多的兩類計算，指導學生如何推導公式。

第一個問題是關于第一類曲線積分的計算，設L是平面上的一條光滑曲線，f（x，y）是定義在L上的連續函數，求∫ Lf（x，y） d s。為計算之，首先需要轉化 d s，回顧其含義，它表示弧長微元，即有限細分后小弧段 Δ s長度的合理近似。（注怎樣取近似才算合理？這是一個復雜的問題，我們將在第四部分舉例說明。合理近似的原則是近似值和真實值之間的誤差是分割細度的高階無窮小量，因為此時誤差部分對應的和式極限為零，該誤差不會影響積分和的極限，從而得到真實的極限，求得積分。）如何求弧長微元？有些同學可能還記得在定積分應用部分（可參看文獻），我們推導過其計算公式。此處，通過溫習這一推導過程指導學生遇到問題時學會分析解決問題，無需總是試圖去回憶公式。

熟知的與求弧長有關的知識是線段長度的求法。于是采用“以直代曲”的思想做近似。首先，連接該弧段的端點，將小弧近似看作線段，易知其長度為 （ Δ x） 2+（ Δ y） 2 ，而其中的 Δ y的精確值也無從得知。但學過一元函數微分，我們知道當 Δ x很小時，可以用 d y近似代替 Δ y，于是得 Δ s約等于 （ d x） 2+（ d y） 2 ，此即為欲求的弧長微元?d s。最后根據曲線的具體表達形式（直角坐標形式，參數方程形式，極坐標形式），把x，y， d x， d y代入到積分表達式中，同時，將積分曲線L改為曲線表達式中參數的取值區間。最終，將第一類曲線積分轉化成了定積分。

第二個問題是計算第二類曲面積分，設∑是有向光滑曲面，求 ?∑ R（x，y，z） d x d y。首先理解其中每一個符號的含義，回到應用背景，積分元素R（x，y，z） d x d y表示單位時間內密度為1的流體以速度（0，0，R（x，y，z））流經有向曲面上小曲面?d s在平面xOy上投影區域（該區域的方向和 d s的方向保持一致）的流量。首先，將積分曲面Σ表達成x，y的函數，即寫成z=z（x，y）的形式。（注不能寫成一個函數時，可分塊，寫成多個函數。）令γ表示曲面Σ在（x，y，z）處與z軸正向的夾角， d σ表示曲面 d s在xOy面上投影區域的面積大小，則流量大小等于|R（x，y，z）| d σ。流量符號取決于流體流向和區域方向的夾角。當夾角為銳角時，流量為正;當夾角為鈍角時，流量為負。注意到流體方向（0，0，R（x，y，z））平行于z軸。由此可得，流量符號為 sgn （ cos （γ）·R（x，y，z））。于是R（x，y，z） d x d y等于 sgn（cos （γ））·R（x，y，z） d σ。最后，用D表示Σ在xOy面上的投影，累積可得，曲面積分 ?Σ R（x，y，z） d x d y等于二重積分 ?D? sgn（cos （γ））·R（x，y，z） d σ。

積分中的每個符號都有其含義，理解之，刻畫之，最后轉化成定積分或者重積分都是順理成章的。積分計算部分公式繁多，切忌生搬硬套。自行推導幾遍后，看似復雜的公式也都生動起來，每個符號都有其直觀含義，根據理解寫出公式，遠比硬性記憶可靠得多。

（三） 選取微元的技巧

通過上述問題的分析，我們注意到計算積分時最關鍵的部分是求微元。下面來討論求微元時易出現的問題。求微元時，通常采用“以直代曲”、“以不變代變”的近似方法，近似的原則是：使得近似值和真實值之間至多相差分割細度的一個高階無窮小量。然而，在實際操作時我們根本無從驗證這一點，因為真實值不得而知。所以在選取微元時，大多是憑直觀。那么，具體操作起來可能會有多種可選的近似方式，但哪一種是對的呢？下面將通過分析具體的例子，為選取正確的微元提供思路。

問題：求曲線y=f（x），x∈[a，b]繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積和側面積（可參看文獻[4，5]）。如果函數f（x）在區間[a，b]上是直線段，那么該旋轉體就是圓柱、圓錐或者圓臺，求這種立體的體積和側面積已有現成公式。如果f（x）不是直線段，那么該幾何體就是不規則圖形，我們采用微元法計算其體積和側面積。首先，將區間[a，b]劃分成若干小區間，選取其中小區間[x，x+ d x]對應的小立體。此問題中的體積（或者側面積）微元即是該小立體體積（或者側面積）的近似值。我們采用“以直代曲”的思想，將其近似看作規則圖形，求其體積（或者側面積）的近似值。在近似選取上有人會將其近似看作圓柱體，有人會近似為圓臺（參看文獻[5]）。

首先，將該小立體近似看作是一個以f（x）為截面半徑， d x為高的圓柱。那么，體積微元 d V= π f 2（x） d x，在區間[a，b]上累積可得立體的體積V=∫? b? a π f 2（x） d x;側面積微元為 d S=2 π f（x）dx，在區間[a，b]上累積可得立體的側面積

d S=2 π ∫? b? af（x） d x。

另一方面，將該小立體近似看作是一個分別以f（x）和f（x+ d x）為底面半徑， d x為高的圓臺，由圓臺的體積公式可得，此圓臺體積為

1 3? π （f 2（x）+f（x）f（x+ d x）+f 2（x+ d x）） d x，其中f（x+ d x）仍未知，注意到 d x為無窮小量，并且上式中有一個因子為 d x，于是可用f（x）近似代替f（x+ d x），整理可得體積微元 d V= π f 2（x） d x，與第一種方法所得結果相同。由圓臺的側面積公式可得，此圓臺側面積為 π （f（x）+f（x+ d x）） d l，其中 d l為圓臺的母線長，即是點（x，f（x））到點（x+ d x，f（x+ d x））的距離。由本文第三部分的分析知，可用

（ d x） 2+（ d y） 2 = 1+（f′（x）） 2? d x作為 d l的近似。由于 d l的近似中包含了因子 d x，所以可用f（x）近似代替f（x+ d x）。于是側面積微元 d S=2 π f（x） 1+（f′（x）） 2? d x，在區間[a，b]上累積，得側面積S=2 π ∫ ?b? af（x） 1+（f′（x）） 2? d x，與第一種方法所得結論不同，兩者必有一處是錯誤的。

在教學中，為了指引學生選擇正確的微元，我們采用特例驗證的方式。考慮線段y=x，x∈[0，1]繞x軸旋轉一周所得到的立體的體積和側面積。該立體是一個底面半徑為1，高為1的圓錐，由圓錐的側面積公式，知其側面積為 2? π 。下面用上述兩種方法得到的公式進行計算。如果采用第一種近似方式，可得側面積為2 π ∫? 1? 0x d x= π ;如果采用第二種近似方式，可得側面積為

2 π ∫? 1? 0x 1+1? d x= 2? π 。讀者也可以自行驗證用上述所得積分計算此圓錐體積也是正確的。至此，我們得出計算體積微元時兩種近似方式都可以，計算側面積微元時，只能選擇第二種近似方式。

可用積分解決的實際問題種類繁多，難點在于求微元。而在做近似時，我們通常憑直覺，這種做法必然帶來爭議，當有多種近似方式看上去都合理時，不妨取一個已經解決了的特例，用之幫助人們正確選擇近似的方式，從而得到正確的微元。

三、 結語

《高等數學》課程知識點多，較為抽象。很多同學總想繞過那些縝密嚴謹的數學推導，生搬硬套，領會不到數學方法的精髓。事實上，數學的美就在于其嚴密性和邏輯性，試圖站在發現數學的角度，從每個知識點的背景出發，跟隨教材的內容，自行探索問題的解決辦法。這樣下來每一個定義，每一個定理都是順理成章的，也不再晦澀難懂，整個課程也不再是零零散散的定理公式，而是一棵枝繁葉茂的大樹。

參考文獻：

[1]Morris，Kline著，張理京，張錦炎，江澤涵等譯.古今數學思想[M].上海科學技術出版社，2009.

[2]余時偉，宋莉.建構主義下微積分教師的教學策略[J].大學數學，2017，33（191）：52-55.

[3]楊水濤.高校高等數學教與學的博弈[J].大學數學，2017，33（190）：60-65.

[4]褚寶增，陳兆斗.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2013.

[5]華東師范大學數學系.數學分析[M].第四版，北京：高等教育出版社，2010.