關于Lyapunov方法教學的幾點反思

丁建

摘 要： Lyapunov方法是定性研究微分方程的重要方法，在非線性系統、自動控制等領域有廣泛應用。但在教學過程中還存在對該方法重視程度不夠、歷史背景介紹不詳盡、方法應用介紹不全面等問題。本文擬對這些問題作深入分析，以引起相關教育工作者的反思。

關鍵詞： Lyapunov方法;Lyapunov函數;Lyapunov方法的應用

Lyapunov方法是研究方程解的穩定性的重要方法，是《常微分方程》課程的重要內容。

Lyapunov方法分為第一方法和第二方法。第一方法利用微分方程的級數解研究解的穩定性，自提出后就沒有大的突破和發展;第二方法也稱作直接法，其通過構造合適的Lyapunov函數，計算其沿微分方程解隨時間的導數的正負以判斷方程零解的穩定性。由于第二方法不需求解方程即可判斷系統穩定性，這對研究系統的穩定性尤其是非線性系統的穩定性帶來了很大的方便，已經成為研究穩定性問題的主流方法。Lyapunov函數是Lyapunov第二方法的核心與靈魂，解決穩定性問題的過程就是尋找合適的Lyapunov函數的過程。針對不同的問題，需要構造不同的Lyapunov函數。當前，還未發現普遍適用的Lyapunov函數構造方法。作者在《常微分方程》課程的教學和調研過程中發現在Lyapunov方法的教學過程中還存在一些突出問題，值得深入反思和進一步改進。

一、 許多院校或主講教師對于Lyapunov方法重要性的認識不夠深刻，沒有引起學生對該方法的足夠重視

作為《常微分方程》理論部分的重要內容，Lyapunov方法是定性研究方程解的最重要、最有效的方法。深刻掌握該部分內容，對促進學生從直接求解方程到定性研究方程的思維發展具有重要作用。另外，近些年Lyapunov方法在生態系統、復雜網絡、非線性系統、自動控制等領域得到了越來越廣泛的應用，其應用價值和應用潛力正逐漸顯現，因此，Lyapunov方法的重要性不言而喻。然而，長期以來，限于課時或囿于狹隘的應試教育思維，一些院校的師生對于Lyapunov方法的教與學沒有給予足夠的重視。許多主講教師僅對Lyapunov方法作簡單的介紹，然后對應穩定性定理舉幾個方程照貓畫虎的驗證一番即告完事，對于Lyapunov函數的定義和穩定性定理的講解不夠透徹，有些院校甚至干脆略掉該部分內容。這樣一來，這些院校進入研究生階段的學生用到Lyapunov方法時還要重新學習，費時費力，且效果往往不如本科階段對課程的系統學習好，對后續發展造成了不利影響。

二、 對于Lyapunov方法提出的歷史背景和發展過程不予介紹或介紹的不夠詳細，錯過了對學生進行數學文化教育的絕好機會對學生進行數學史、數學文化教育是激發學生數學學習興趣、形成正確的數學價值觀和科研觀的重要方法。“數學文化史的研究表明，如果數學作為一種文化的子系統處于整個民族文化系統中有主動影響的層面（如宗教、哲學層面），就會對整個文化系統發生重大的影響”。

Lyapunov方法是由俄國數學家李雅普諾夫于1892年在其博士論文《運動穩定性的一般問題》中提出的，并首次給出了運動穩定性的嚴格定義。中科院秦元勛教授于20世紀50年代將李雅普諾夫的博士論文編譯成中文引入國內。Lyapunov方法后經李雅普諾夫的學生切塔耶夫，Barabashin，Krasovskii，尤其是蘇聯數學家Malkin以及美國數學大師Lasalle的改進和推廣，形成了比較完善的穩定性理論體系。

Lyapunov函數是Lyapunov方法的核心，其受能量函數和Poincare地形系思想的啟發，抽象、推廣而來。Lyapunov函數的構造沒有普適方法，依賴于科研人員的經驗和技巧，廖曉昕教授在文[4]和[5]中介紹了幾種利用試探、湊合構造Lyapunov函數的原則性方法。

三、 對于Lyapunov方法在當代科學研究中的應用介紹的不夠全面

Lyapunov方法正是由于其在控制等領域的廣泛應用才迸發出蓬勃生機，因此，要深入掌握Lyapunov方法不應該不對其應用作全面詳細的了解。有些領域的Lyapunov方法應用牽涉到較深的專業背景和應用技巧，這就需要主講教師對問題進行再加工，化繁為簡，將不同領域的專業問題轉化為學生可以理解的數學模型。盡可能地展現Lyapunov方法廣闊的應用空間和巨大的應用前景對于提高學生數學學習興趣、培養遠大的科研理想有重要的引導作用。

依據筆者《常微分方程》多年的教學經驗，可向學生提供Lyapunov方法在傳染病模型、生態系統穩定性以及非線性系統穩定性研究方面的應用，限于篇幅，在此不展開論述。

綜上所述，在教學過程中，教師需要提升學生對Lyapunov方法重要性的認識，注重對學生數學歷史和數學文化的教育，向學生展示Lyapunov方法的廣闊應用空間，這不僅僅是單純的傳授知識，更是培養學生數學學習興趣、數學素養以及數學理想的大好機會，應引起廣大主講教師的高度重視。

參考文獻：

[1]王憲昌.數學文化在數學教育中的地位[J].數學通報，2006（6），25-27.

[2]Malkin N G. Theory of stability of motion[M]. Moscow：Nauka，1966（in Russian）.

[3]LaSalle J P. The stability of dynamical systems[M]. Ser. Regional Conference Series in Applied Mathematics. Society for Industrial and Applied Mathematics，1976.

[4]廖曉昕.穩定性的數學理論和應用[M].武漢：華中師范大學出版社，2001.

[5]廖曉昕.漫談Lyapunov穩定性的理論、方法和應用[J].南京信息工程大學學報：自然科學版，2009，1（1）：1-15.