直線與圓錐曲線綜合解題方法的幾點探討

許光安

摘 要：圓錐曲線是高中數學重要內容，它體現了解析方法和代數方法在刻畫平面曲線方面的強大作用，然而，這部分內容對學生各方面能力要求較高，學生懼怕綜合題和繁雜計算，本文就從解決此類問題，著重介紹了涉及直線與圓錐曲線綜合題的解題方法及策略。

關鍵詞：圓錐曲線 直線 交點 中點弦 定值

圓錐曲線綜合題在高考中多以難題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定、弦長、最值問題等，突出考查數形結合、分類討論、函數與方程等思想方法，要求考生分析和解決問題及計算能力較高，有利于選拔的功能。因此，許多學生對做此題心存余悸，不敢輕易下筆，甚至完全放棄，師生深感遺憾，為了讓自己在教學中這種被動的局面有所扭轉，更好的把握住圓錐曲線的相關問題，結合自己多年的教學實踐，從以下幾個方面進行了探討：

一、直線與圓錐曲線的交點問題的探討：

直線與圓錐曲線的位置關系可通過對直線方程與圓錐曲線方程聯立，將直線L的方程Ax+By+C=0（A、B不同時為0）代入圓錐曲線C的方程f（x，y）=0，消去y（或x）得到關于x（或y）的一元二次方程，如消去y后，得ax+bx+c=0（1）若a=0，當曲線是雙曲線時，直線L與雙曲線的漸近線平行與圓錐曲線只有一個交點，當直線L與雙曲線的漸近線重合時，無交點；當曲線是拋物線時，直線L與拋物線對稱軸平行（重合），此時直線L與拋物線只有一個交點。（2）若a0， =b2-4ac，①>0時，直線與圓錐曲線有兩個交點；②=0時，直線與圓錐曲線只有一個交點；③<0時，直線與圓錐曲線沒有交點。只有一個公共點時，未必相切，如拋物線與平行（重合）于其對稱軸的直線，只有一個公共點，但不相切，而是相交。直線與圓錐曲線的位置關系，分析時注重函數、方程、判別式法、代點法、數形結合等數學方法的培養。

橢圓、雙曲線、拋物線是三種外型上差異很大的幾何圖形，本質上卻有統一的背景和定義，都是平面截圓錐得到的截口曲線；都是平面內到一定點的距離和到一條定直線距離的比值是一個常數的點的軌跡，比值不同就形成了不同的曲線.直線與圓錐曲線綜合問題是充分反映代數與幾何不可分割關系的一個非常好的素材。

參考文獻

[1]張留杰；童嘉森；與圓錐曲線交點弦相 關的一個優美結論[J]；高中數理化；2011年21期。

[2]彭世金；用向量法判定直線與圓錐曲線的位置關系再探[J]；數學通訊；2007年17期。

[3]劉少偉；圓錐曲線的教學探討；《西南師范大學學報（自然科學版）》；2014年10期。endprint