淺析高考解析幾何中的最值問題

廣東省佛山市第一中學 陳超倫

一、高考解析幾何中的最值問題所涉及的知識內容分析

高中數學知識內容較為完整化與系統化，而高考解析幾何中的最值問題，不僅涉及基本的“解析幾何”知識內容，更與“函數方程”、“不等式”等數學內容互有聯系，是數學知識的綜合化體現。在對解析幾何中的最值問題進行思考的過程中，要結合所學數學知識內容進行綜合分析，才能得出正確答案，否則思維缺少正確的方向與方法，將不利于正確結論的得出。例如：“已知點A，B，C在圓x2+y2=1上運動，而且AB垂直于BC，如果點P的坐標為(2，0)，則的最大值為多少？（2015年湖南高考數學題目）學生在思考問題的過程之中，不僅要結合解析幾何的知識內容考慮到圓的特點，還要根據“向量”知識對題目條件進行轉化，才能順利結合題目條件理清思緒，通過層層剖析得出答案。高考解析幾何中的最值問題絕不會以獨立的考查形式出現，數學問題的綜合性與推理過程的嚴謹性是這類題目的一大特點，只有學生能夠擁有扎實的數學基礎，懂得結合所學數學知識對解析幾何中的最值問題進行綜合分析，才能把握解題命脈，從而抓住解題的線索，在明確解題方向的基礎之上經過嚴謹推理得出答案。

二、高考解析幾何中的最值問題存在的形式分析

雖然高考中解析幾何的最值問題是困擾學生的一大難點，但是只要抓住這類題型的主要特征，解決這類問題也并非無章可循。從近年來高考解析幾何中最值問題的存在形式分析，這些問題往往都是以解析幾何知識作為考查載體的，與其他數學知識互為關聯，旨在考查學生綜合分析問題的能力。這類問題大致可分為兩類，一類是求有關夾角、面積、距離等最值或與之相關的問題，另一類是求直線與圓錐曲線中幾何元素的最值問題或與之相關的問題，而從考查形式上，這些問題根據難度的不同及綜合性的不一，既包括選擇題，又包括填空題，更有邏輯要求較高、綜合性更強的推理難題。只有學生抓住解決距離、面積類解析幾何最值問題的一般特征，才能邏輯清晰地解決此類問題。例如：“已知F是雙曲線的右焦點，P是C左上一點，當△APF周長最小時，該三角形的面積為多少？”在解題的過程之中，需要綜合考慮題目條件，聯想到如何用題目條件表達三角形面積關系，才能在推理論證之下解決此類問題。根據所求最值類型的不同，考慮合理的推理方式是解決高考解析幾何中最值問題的關鍵，高考解析幾何中最值問題存在的形式包括距離、面積、夾角大小等，只要學生對于解析幾何知識擁有深入的研究，能夠理清解析幾何知識與平面幾何知識間的內在聯系，解決此類問題便能游刃有余。

三、解決高考解析幾何中最值問題的思路探究

因高考解析幾何中的最值問題帶有一定的綜合性與難度，能否掌握合理的推敲方法與解題思路是能否解決這類問題的關鍵。從高考解析幾何中最值問題的一般特點分析，清晰了解各類解析幾何的定義是解決這類問題的前提條件，又由“解析幾何”的定義可知，解析幾何知識包括代數知識和幾何知識，因此數形結合思想與轉化思想是解決這類問題的一般思路。例如：“已知P點是位于拋物線y2=4x上的點，那么P點到Q點(2，-1)的距離與P點到拋物線焦點的距離之和的最小值為多少？”解題者必須清晰了解有關“拋物線”解析幾何知識的基本定義，適當地把P點到焦點的距離轉化為P點到準線的距離，再應用數形結合思想根據圖象綜合分析問題，才能解決問題。而數形結合思想與轉化思想在解題過程中出現的形式又有所不同，有時需要結合題目條件把幾何關系轉化為代數關系，而有時則需要利用代數關系推算其在圖象中的具體形象，在解題過程中究竟需要采用何種思路解決問題，需要結合具體問題具體分析。例如：“已知M(x0，y0)是雙曲線上的一點，F1、F2是C上的兩個焦點，若MF1.MF2＜0，則y0的取值范圍為多少？”這道題中，把題中所給的代數關系轉化為圖形關系，是解決這類題目的一般思路。只有清晰解題思路，才能邏輯清晰地處理高考解析幾何中最值問題的相關條件，在經過合理推敲之后得出正確答案。

高考解析幾何中的最值問題是高考數學當中的重要內容，只有學生清晰掌握有關解析幾何的基本概念，了解其在高考當中出現的形式，并掌握解決此類問題的思維方法，才能在條理清晰的情況之下游刃有余地解決此類問題。

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[3]姚振飛．高中解析幾何中的最值問題及其教學策略研究[J]．考試周刊，2013（85）．