初等函數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

安徽省明光中學(xué) 胡 越

一、初等函數(shù)在高考數(shù)學(xué)當(dāng)中所涉及的知識(shí)內(nèi)容

高中階段的初等函數(shù)知識(shí)內(nèi)容不僅包括三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的定義、概念及形式，還包含對(duì)函數(shù)奇偶性、增減性等初等函數(shù)性質(zhì)的研究。從近年來(lái)高考數(shù)學(xué)內(nèi)容當(dāng)中的題型分布分析可以發(fā)現(xiàn)，初等函數(shù)在高考數(shù)學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用存在一定的綜合性與技巧性，如果學(xué)生對(duì)初等函數(shù)知識(shí)內(nèi)容的理解不夠深刻，便難以靈活運(yùn)用解題方法巧妙解答高考數(shù)學(xué)當(dāng)中的初等函數(shù)類(lèi)題目。例如：“已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x)，并且f(x)屬于偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=x2，若x在區(qū)間[-1，3]內(nèi)時(shí)，函數(shù)g(x)=f(x)-kx-k存在4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為多少？”這道典型的高考數(shù)學(xué)初等函數(shù)題目涉及的內(nèi)容不僅包括初等函數(shù)知識(shí)內(nèi)容中偶函數(shù)的判定與性質(zhì)，還包括周期函數(shù)的性質(zhì)與特征以及復(fù)合函數(shù)的處理方法，是初等函數(shù)知識(shí)內(nèi)容的綜合體現(xiàn)。學(xué)生必須要精準(zhǔn)理解各類(lèi)函數(shù)的定義與性質(zhì)，并且對(duì)初等函數(shù)的研究方法掌握透徹，才能結(jié)合題目條件理清思緒，在逐步的推理演算之中獲得正確答案。同時(shí)，初等函數(shù)在高考數(shù)學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用還會(huì)牽扯其他的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，如“利用不等式判斷函數(shù)的大小關(guān)系”或者“聯(lián)系方程知識(shí)進(jìn)行函數(shù)上點(diǎn)的計(jì)算”。由此可見(jiàn)，初等函數(shù)在高考數(shù)學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用幾乎與整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系相互關(guān)聯(lián)，而不是獨(dú)立的分支。由于在高中階段初等函數(shù)知識(shí)內(nèi)容較為多樣與深?yuàn)W，初等函數(shù)的復(fù)雜性與相互關(guān)聯(lián)性是高考數(shù)學(xué)中的一大特色，只有學(xué)生對(duì)各類(lèi)初等函數(shù)的定義與性質(zhì)進(jìn)行深入的了解，掌握研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，才能根據(jù)題目特征清晰解題思路，層層遞進(jìn)地展開(kāi)探究活動(dòng)。

二、初等函數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用考核形式

從近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)題型分析，初等函數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用呈多種方式，既有較為簡(jiǎn)單的選擇題題型，也有難度中等的填空題題型，還有難度較大的綜合性分析題型，旨在考查學(xué)生的思維能力，判斷學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的掌握程度。從初等函數(shù)在高考數(shù)學(xué)當(dāng)中的應(yīng)用考核形式分析，既有函數(shù)與方程的求解問(wèn)題，也有函數(shù)性質(zhì)的判斷問(wèn)題，更有結(jié)合函數(shù)圖象識(shí)別函數(shù)的特征與性質(zhì)的問(wèn)題。相對(duì)于填空題與綜合分析類(lèi)題型來(lái)說(shuō)，選擇題對(duì)于學(xué)生的威脅較小，一方面，選擇題中有相應(yīng)的備選答案供學(xué)生參考分析；另一方面，選擇題中的分值占比較小，問(wèn)題也沒(méi)有相互關(guān)聯(lián)，不易對(duì)學(xué)生造成過(guò)大的心理壓力。而綜合分析類(lèi)初等函數(shù)題型則是高考數(shù)學(xué)的重中之重，旨在考查學(xué)生思維的縝密性，學(xué)生只有經(jīng)過(guò)細(xì)心的推斷與思考，才能獲得正確答案。例如：“定義在R上的函數(shù)y=f(x)，已知f(0)≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1，且對(duì)任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，試證明f(x)在R上屬于遞增函數(shù)?！边@道綜合分析類(lèi)題目需要學(xué)生結(jié)合題目中給出的條件，聯(lián)想證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法，對(duì)題目中的關(guān)系式進(jìn)行不同梯度的轉(zhuǎn)化，得出“f(0)=1”以及當(dāng)“x∈R時(shí)，恒有f(x)＞0”這個(gè)結(jié)論，才能開(kāi)展合理有效的論證。

三、初等函數(shù)在高考數(shù)學(xué)應(yīng)用中所蘊(yùn)含的思想方法

從初等函數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用所涉及的知識(shí)內(nèi)容與考查形式分析，旨在檢驗(yàn)學(xué)生思維水準(zhǔn)的優(yōu)劣。數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想是初等函數(shù)研究中的核心思維方式，大部分高考數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)題目解答都需要用到這兩種思維方式，一方面，函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中衍生出來(lái)的產(chǎn)物，正是數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)研究中的應(yīng)用，使函數(shù)與方程建立起一定的聯(lián)系，研究函數(shù)脫離圖形則毫無(wú)研究?jī)r(jià)值，另一方面，借助數(shù)形結(jié)合思想在初等函數(shù)研究中的應(yīng)用，利用圖形可以直觀反映出初等函數(shù)的外在特征及內(nèi)在性質(zhì)，從而使初等函數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)更具有生動(dòng)化與形象性的特點(diǎn)。由于高考數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)知識(shí)內(nèi)容綜合性較強(qiáng)，涉及的內(nèi)容較廣，在解答的過(guò)程之中，需要一定的技巧性與靈活性，才能不受思維的局限而順利解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。而轉(zhuǎn)化思想便是研究初等函數(shù)中的重要思想，借助轉(zhuǎn)化思想在高考數(shù)學(xué)初等函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，學(xué)生能夠有效變換思維角度看待問(wèn)題，從而解決問(wèn)題?！胺蛛x參數(shù)法”與“構(gòu)造函數(shù)法”這兩種研究方法便是轉(zhuǎn)化思想在初等函數(shù)研究中的重要體現(xiàn)。例如：“函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(-1)＝2，對(duì)任意x∈R，f＇(x)＞2，則f(x)＞2x+4的解集為多少？”這道題目表面上看沒(méi)有求出f(x)的解析式所需的條件，但是通過(guò)聯(lián)想導(dǎo)數(shù)知識(shí)，由“對(duì)任意x∈R，f＇(x)＞2”想到構(gòu)造函數(shù)G(x)＝f(x)-2x-4，便能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為求“G(x)＝f(x)-2x-4＞0”的解集，從而利用G(-1)=0以及G(x)的增減性特征得到題目答案。轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想正是初等函數(shù)在高考數(shù)學(xué)應(yīng)用中所蘊(yùn)含的思想方法。

初等函數(shù)是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，且在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用帶有一定的綜合性與全面性，思想方法的滲透更是其中的主要內(nèi)涵，唯有教師在教學(xué)活動(dòng)中幫助學(xué)生加深對(duì)初等函數(shù)的理解認(rèn)識(shí)，才能使學(xué)生游刃有余地解決函數(shù)問(wèn)題。

[1]成偉君．高觀點(diǎn)下的基本初等函數(shù)教學(xué)研究——以無(wú)錫中職學(xué)校為例[D]．浙江師范大學(xué)，2014

[2]伏有祥，伏文文．基本初等函數(shù)表示高斯函數(shù)的思維過(guò)程分析[J]．佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（6）．