正確表征數學的抽象意義
——《倒數的認識》教學后的思考

彭應奎

教學《倒數的認識》（人教版六年級上冊第三單元第28頁）后，批改學生的作業，發現了一些有意思的錯誤：

（2）小紅和小亮誰說得對？（題目見教材第29頁）：

學生C：為什么不可以呢？小數和分數是可以互化的，我們把0.75化成分數后就是分子和分母上下對調了。

……

學生的回答讓我陷入沉思：看來，學生們對于倒數的“倒”字印象非常深刻。為什么學生一定要強調分子分母互相對調的形式，而不是從倒數的本質特征“乘積為1的兩個數互為倒數”來進行判斷呢？

細細想來，這可能與教材的編排以及老師的教法有很大的關系。教材這樣舉例說明：因為×=1,所以的倒數是，的倒數是，與互為倒數。接著教材提問“你是怎樣找一個數的倒數的？”再次舉例的倒數是，在找倒數的過程中，只要把分子、分母交換位置就可以了。再加上那天教學時用的PPT封面圖片是“兩只猴子，一正一倒，配合著與這兩個數”，給學生強烈的視覺沖擊力就是一個“倒”字。因此，學生們對于“倒數”的理解就是：求一個數的倒數只要分子和分母對調就可以，所以學生們根深蒂固地認為5的倒數是5。分子和分母對調，這樣形式上的、簡潔的方法就深深地刻入到學生的腦海里。對1的倒數是它本身，0沒有倒數，也還是從分子和分母對調上去理解的——因為1無論怎么倒，都是1，把0倒回來的時候，發現0不能做除數……

這樣教學，對學生正確認識倒數的本質特征產生了很大的負面影響。如何避免“倒數”這個名字給學生認知帶來的負遷移，如何在教學中順利地引導學生認識到倒數的本質特征——“乘積是1的兩個數互為倒數”呢？

其實，教材上是有這句話的。不過，學生的注意力被具體的例子給吸引了。所以上課時，教師要注意淡化倒數的形式特征，強化倒數的本質——“兩個數的乘積為1”。同時，讓學生多舉不同類型的兩個數的乘積為1的例子——分數的；小數的；整數的。比如 0.25×4=1；5×0.2=1等。然后進行全班匯報交流，教師選擇性地把各種類型的例子進行板書，讓學生認識到“乘積是1的兩個數互為倒數”，用字母表示為：如果ab=1,則a、b互為倒數。這樣教學，學生對倒數的理解就能抓住本質特征，就不會有倒數就是分子分母對調這種錯覺出現。

《倒數的認識》是一節概念課。在概念課教學中，我們強調遵循學生的認知規律，在概念形成之初，就讓概念的本質深深地刻在學生的腦海中，而不是僅僅記住表面的知識，然后讓學生經過數次的“犯錯”、教師不斷地“糾錯”過程后才真正認識倒數的本質。否則，學生永遠無法真正觸及倒數的本質。

數學來源于生活，在教學中，有時候我們利用部分有趣的生活現象來展開教學，可以讓學生更好地理解數學。但是，當有趣的生活現象不能正確表征數學的抽象意義，反而對學生的數學認知造成一定的干擾時，教師應給予拋棄，多利用純數學的變式訓練，抽象出數學知識的本質，以防止學生的思維定式，讓學生從生活形式的數學認識提升到數學本質的認識。