顯體系解疑難重變式
——從《平均數》課例看概念教學策略

葉柱（特級教師）

翻閱現行教材，不難發現，其中編寫著很多數學概念。確實，數學概念是課程領域內極其重要的基礎知識，其教學實施事關學生各種數學能力的發展提升。面對習慣于具體感受、不善于抽象提煉的小學生，如何設計并開展概念教學，是一個需要持續關注、深入探討的現實問題。在本期“典型課例”中，徐金春、沈曉鈺兩位優秀青年教師為我們呈現了基于新課程理念指引的《平均數》教學實錄，讀后頗有啟發。在此，我想結合兩個課例的學習體會，就概念教學的實踐策略談些粗淺想法。

一、顯體系：突出“概念”的生長性

眾所周知，某個新概念學習前，學生大都已有“前概念”。這個前概念，可能來自前位學習，也可能源于生活經驗。備課時，教師要對學生的前位學習、生活經驗予以足夠關注，力求捕捉其中的前概念因素。在此基礎上，通過營造空間、重點溝通等組織方式，促進前概念向新概念的無痕“升級”，從而夯實概念學習的基石。

我們一起探討，學生已有的“平均數”前概念可能會有哪些？首先，對于平均數，部分學生課前有所“觸碰”，但理解比較模糊。其次，對于“移多補少”的操作模式，很多學生是有生活經驗的；而對于“先合后分”的運算策略，則與學生前期的“用除法解決問題”學習經歷大有關聯?？梢哉f，學生對于“平均數”的前概念信息還是比較豐富的。

基于上述分析，我們來看兩節課的教學組織。課堂現場，兩位教師都讓學生自主經歷“移多補少”“先合后分”策略的生成過程，這是打通前概念與新概念的絕佳體現。除此之外，兩節課還呈現出了不同的實踐個性。徐老師于課始直接揭示課題，請學生暢談對平均數的已有認識，由此摸準了概念生長的現實起點；在學生提出“（14+12+11+15）÷4=13”的解題策略后，徐老師及時追問學生“這樣做”的理由。就在此時，令人倍感意外與驚喜的是，教師并不滿足于“口頭文章”，而是獨具匠心地利用課件動態再現了“先合并，再等分”的過程畫面，直觀強化了二年級“平均分”知識與四年級“平均數”知識之間的本質關聯。沈老師在創設“小紅、小麗、小娟的踢毽比賽”情境時，圍繞“分別用哪個數代表三人的踢毽水平”的核心問題，設計了一條“從三個相同的數中提取代表數”“從三個不同、但比較接近的數中提取代表數”“從三個不同、且差異較大的數中提取代表數”的遞進路徑，同樣有利于概念內涵在每位學生的認知結構中有序生長。

二、解疑難：張揚“概念”的思辨味

在每個概念的學習過程中，常有一些核心元素遠比字面描述更為抽象，讓學生較難理解。直面這些核心元素的認知疑難，分析學情需求，改進環節設計，調整引領策略，是概念教學取得實效的重要法門。從這個角度來看，那些看似面面俱到、但對疑難核心元素缺乏充分關注、重點突破的教學組織，顯然是缺乏達成度的。

我們試著分析一下，“平均數”概念的理解難點在哪里？上文已談到，關于“平均數該如何得到”，學生的前概念較為豐富，并有“移多補少”“先合后分”的操作程序可以依靠，屬于技能范疇，因此算不上疑難。而說到“平均數能反映什么”，雖可結合情境作出解讀，但側重于觀念思辨，具有較高的抽象程度，很多學生理解起來不易“一步到位”，這才是概念建構的疑難所在。很高興地看到，兩位教師都非常重視“平均數能反映什么”這一學習難點的有效突破，極其強調概念學習的思辨味，幫助學生建立對“平均數是一個虛擬的數，反映一組數據的整體水平”的切實感悟，進而將學生對主體的概念理解引向深處。以下，就具體策略予以盤點：

1.情境推動，激活思考，解析學習疑惑。

徐老師在學生解決“這個小組平均每人收集了多少個水瓶”問題后，及時設問：“平均數13個是否說明，他們每個人都收集了13個水瓶？”從而將學生的關注點由“過程解答”引向“結論反思”，使其體會到“平均數并不是實際水瓶數。實際水瓶數有的大于平均數、有的小于平均數。”在此基礎上，教師又適時拓展教材情境，巧妙延續了“劇情”，引發了全體學生更富深度地數學思考：“媽媽知道小明收集了15個水瓶，她想了解小明在整個組中的表現。如果你是媽媽，最想聽到兩種回答中的哪一種？”（第一種回答是“總數52個”，第二種回答是“平均數13個”）正像有位學生回答的那樣，“我認為是第二種回答，這樣就能看出小明的‘戰況’很不錯”，這個環節有力凸顯了“平均數反映整體水平”的抽象內涵。

2.問題刺激，促進研究，解決認知難點。

沈老師在學生求出“小娟踢毽的平均數是17個”后，跟進追問：“這里的平均數17，是小娟第一、二、三次踢毽的個數嗎？平均數17既然不是小娟三次踢毽的具體個數，那它究竟表示什么呢？”同樣也幫助學生“認清”了平均數的本質屬性。

三、重變式：提升“概念”的建構力

變式，是概念教學走向深入的重要手段，有利于學生在明確概念基本內涵后，先經歷由“不變”到“多變”的跨越，領略概念外延的廣泛性，再體驗由“多變”到“不變”的歸并，把握概念內涵的統一性。結合兩節課的展開狀態，變式的價值意義具體表現為三個方面。

1.依托變式，體會平均數的作用。

徐老師教學例2時，先呈現了“人數相同的男女隊比成績”的問題情境，讓學生發現“一對一比”“比總數”“比平均數”均可，既適度鞏固平均數的教學效果，又使學生感覺到“學習平均數后，數據分析手段更加豐富了”。隨后，教師適時提供變式：“老師在統計男生隊的成績時，漏了孫奇同學的成績（22個），現在你認為哪個隊成績更好？怎么比更合適？”基于這樣的認知沖突，學生很快意識到“一對一比”“比總數”策略的局限性，切實感受到“比平均數”策略的適用性，集中聚焦“平均數反映整體水平”的統計作用。此后，教師繼續發問：“孫奇的22個是所有人中最好的，為什么男生隊還是失敗呢？”使學生明白“一個數據高”不能說明問題，“整體水平高”才是本質所在。同樣的，沈老師在展示自己前三次的踢毽成績“18個、17個、19個”后，對于第四次成績，預設了“14 個”“18 個”“22 個”多個變式，并在與小紅、小麗及小娟的“PK”中，強調了“整體水平”的核心要義。

2.借助變式，凸顯平均數的特點。

平均數在“反映整體水平”的本質屬性外，還有一些外部特點。通過變式教學，能讓這些特點“浮出水面”。比如，徐老師在完成“五位男生和四位女生比成績”教學后，施展了“連環問”：“假如孫奇踢的個數比27個多，男生隊的平均數會發生怎樣的變化？如果孫奇踢的成績很差，比如只有7個，男生隊的平均數又會發生怎樣的變化？”在充分思辨的基礎上，教師對平均數外部特點的揭示“水到渠成”：看來，當其中一個數據發生變化時，整組數據的平均數就變了。

3.立足變式，優化平均數的應用。

筆者認為，“平均數”只有跳出書本限制、回歸生活現場，才能真正凸顯其統計學意義。鑒于此，兩位教師都精心設計了一定數量的變式訓練。徐老師策劃的“小東到哪里去游泳比較危險”話題討論、沈老師提出的“糕點師傅明天做多少個草莓蛋糕才合適”“你能運用今天所學的知識來勸勸老奶奶嗎？”問題辨析，都將平均數知識“埋伏”進現實場景中，使得學生需要應用所學、靈動思考，進一步豐富了其對平均數本質功能的深度認同。

綜上所述，透視兩個《平均數》課例，筆者認為，概念教學要“顯體系”“解疑難”“重變式”，來突出生長性、張揚思辨味、提升建構力。另外，對于教材編寫的例題資源，徐老師的立場是“用透及拓展”，沈老師的做法是“替換與補充”。個人以為，只要有利于全體學生對于概念的深層建構，都是可行的。正所謂，“條條大路通羅馬”。