全概率公式與貝葉斯公式的應用

巴林

【摘要】概率是反映隨機事件出現的可能性大小的量度，而條件概率則是給定某事件A的條件下，另一事件B發生的概率，事件A與事件B的關系會影響條件概率。全概率公式則是利用條件概率，將復雜事件A分割為若干簡單事件概率的求和問題，貝葉斯公式則是利用條件概率和全概率公式計算后驗概率。本文利用這三個概率公式來解決相關的數學與醫學問題。

【關鍵詞】條件概率 全概率公式 貝葉斯公式

【中圖分類號】O211.9 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）48-0120-01

概率基礎知識

相對于傳統統計學，貝葉斯公式提供了全新的邏輯推理思路，我們將A1，A2，…，An，…設為事件發生的原因，P（Ai）稱為先驗概率，然后試驗產生了結果B，再計算后驗概率P（Ai|B），可以修正先驗概率，反映試驗之后對初始的各種原因發生概率有了新的認識。在醫療診斷上，醫生為了診斷病人是患了A1，A2，…，An，中哪一種，可以檢查病人的某個指標，通過歷史數據確定先驗概率P（Ai）與P（B|Ai），再利用貝葉斯公式計算P（Ai|B），比較大小可以確定病人患各種疾病的可能性大小，醫生可以利用多種指標B來輔助自己的診斷，提高準確度。

應用

例1.有兩批次同類產品，第一箱裝了100件產品，其中次品有30件，第二箱有60件產品，其中12件次品，現隨機抽取一個箱子做檢驗，然后從此箱子先后不放回取出3件產品做檢測，求前兩次抽取的是次品的條件下，第3次抽取的仍是次品的概率。

可以看到后驗概率顯著提高，所以實際中從預防，到社區醫院，二級醫院，三甲醫院的分級診療制度就是為了對病人進行逐步篩選。

這個例子也告訴我們后驗概率的大小非常受先驗概率的選取，這也是貝葉斯統計最受人詬病的地方，但實際應用上先驗概率是通過大量的實際調查得出，具有很強的實用可靠性，所以通過貝葉斯公式計算出的后驗概率具有很強的實際應用價值。

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