解析法在解題中的應用

蘇婷

摘 要：在數學中，我們經常會遇到各種各樣的問題，而解析法，作為數學中的一種研究方法，可以將數學問題轉變成為相應的代數問題，再把代數問題歸結到方程式中的求解，使問題變得簡單化。本文在概述了解析法含義的基礎上，通過實例分析了解析法在解題中的應用，以加強對解析法的運用。

關鍵詞：解析法；幾何問題；應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-054-02

一、解析法

解析法就是用代數的方法來解決數學中的問題。具體來說，就是利用坐標系，建立一個平面（空間）直角坐標系，用坐標代表點，將所求問題轉化成向量的坐標運算即可，也就是運用“數學問題代數化，代數問題坐標化”這一思想進行解題。

二、解析法在解題中的應用

解析法的思想是非常明確的，就是將數學問題轉化成代數問題來進行求解。因此，解析法在向量、解三角形、不等式和平面幾何等中都有很廣泛的應用。

（1）解析法在向量中的應用

在數學中，向量指的是具有大小和方向的量，可以用帶箭頭的線段來形象的表示。其中箭頭所指的是向量的方向；線段的長度是向量的大小。

例1：兩個長度為1的平面向量 和 ，兩個的夾角是120°，而點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，假設 =x +y ，求x+y的最大值。

首先是分析這個問題出現在單位圓中，利用坐標和圓的參數方程就可以解決問題。所以，解析法是最容易想到的一個方法。其次，建立一個坐標系，如圖1所示，那么A（1，0），B（- ， ），設C（m，n），由題設條件 =x +y 得知

（m，n）=x（1，0）+y（- ， ），從而得出m=x- ，n= y，又有m2+n2=1，所以

（x- ）2+（ y）2=1。再由參數方程x- =cos ， y=sin ，其中0≤ ≤ π，所以x= sin +cos ，y= sin ，

因此，x+y= sin +cos + sin = sin +cos =2sin（ + ），

最后，所以當 = 時，x+y取得最大值，最大值是2。

（2）解析法在解三角形中的應用

在解三角形的運算中，如果利用解析法就能將三角形的運算代數化，數與形相結合，大大提高解答三角形運算的效率。

例2：如圖2所示，△ABC是等腰直角三角形，其中AC=BC=1，點M、N分別是AB和BC的中點，點P是△ABC（包括邊界）內的任意一點，求 × 的取值范圍。

首先，以BC為x軸，以CA為y軸建立一個直角坐標系，我們可以得到C（0，0），A（0，1），B（1，0），那么M（ ， ），N（ ，0），設P（x，y），所以 × = x-y+ 。利用線性規劃的知識知道，當P位于A（0，1）時， × 取得最小值- ；當P位于B（1，0）時， × 取得最大值 ，所以 × 的取值范圍是[- ， ]。

（3）解析法在不等式中的應用

不等式的證明問題是數學的重難點內容。證明不等式有很多方法，比如反證法、換元法和分析法等。利用解析法解決不等式的證明問題也是其中的一個證明方法。

例3：a、b R+，且a+b=1，求證（a+ ）2+（b+ ）2≥ 。

通過題設條件我們可以將 看作是點A（a，b）與點B（- ，- ）之間的距離。而a+b=1可以看作是點A（a，b）在直線l：x+y=1上的點，而且點B（- ，- ）到直線l的距離是l- - -1l/ ，如圖3所示，因為點B到點A的距離不小于它到直線l的距離，所以 ≥l- - -1l/ = ≥ = （由a、b R+，且a+b=1得出0

（一）解析法在平面幾何中的應用

平面幾何的一個顯著特點是定義和定理很多，而平面幾何中的很多問題都需要從其中的公理、定理出發，再通過推理來證明答案。而利用解析法證明平面幾何中的一些問題是比較容易的，尤其是建立一個直觀的坐標系，更能幫助我們更好地解決問題。

1.證明線段相等

例4：已知CEDF是已知圓的一個內接矩形，過D作該圓的切線與CE的延長線交于A，與CF的延長線交于B，求證 = 。因為CEDF是已知圓的一個內接矩形，所以以CE所在直線為x軸，以CF所在直線為y軸建立一個直角坐標系。設A（a，0），B（0，b），C（0，0），如圖4所示，那么直線AB的斜率KAB是- ，因此AB切圓于D，CD是圓的直徑，所以得到CD AB，那么直線CD的斜率KCD是1/KAB= ，所以CD的方程式y= x，那么AB的方程是 + =1，由這兩個方程我們可以得到x= ，y= ，那么D（ ， ），于是lBFl=lBCl-lCFl=b- = ，所以 = = = ，因此， = 。

2.證明線共點

例5：證明三角形的三條高線交于一點。

以三角形的一個頂點為原點，其中一邊為x軸建立直角坐標系，設A（0，0），B（a，0），C（b，c）如圖5所示，則三角形三條邊所在的直線方程是：

AB：y=0，AC：cx-by=0，BC：cx+（a-b）y-ac=0，又因為三角形的三條高分別與其三條邊垂直，根據兩條直線相互垂直的關系可以得到三條高線所在的直線方程是：

CF：x-b=0，BE：bx+cy-ab=0，AD：（b-a）x+cy=0，這個時候我們可以得到三條直線方程的系數行列式， ，再根據三線共點的充分必要條件可以知道：三角形的三條高線交于一點。由此，我們可以看出利用解析法解決平面幾何問題，要分為以下幾個步驟：一是根據題設條件，作出圖形；二是根據圖形建立相應適合的直角坐標系；三是選定坐標系后確定圖形中已知點的坐標；四是熟練掌握并應用平面直角坐標系中的有關公式和方程，比如兩點間的直線距離、直線方程的幾種形式和斜率公式等，這樣就會使問題簡單化。

解析法就是利用坐標系寫出幾何關系的表達式，之后進行計算，最后求出答案的過程。靈活運用解析法解決向量、三角形、不等式和平面幾何等問題，有助于我們打開思路，做到以簡駁繁，最終達到迅速解題的目的。

參考文獻

[1] 吳學超、張華、洪濤清，解析高考數學解題中的解析法[J]，麗水學院學報2009 ， 31 （5） ：78-82

[2] 尹蘇妍，活用“解析法”，探究解三角形問題[J]，高中數理化2015 （21）：21