美的數學

摘 要：數學是理性思維和想象的結合，是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。古希臘數學家普洛克拉斯曾說過：“哪里有數，哪里就有美?！比欢浪椎母拍?，往往認為數學是艱苦的、枯燥乏味的，與美學無緣。本文從數學的方法、特點以及數學內容本身主要闡述數學的簡潔美、和諧美、對稱美、統一美以及奇異美等。

關鍵詞：數學；數學美；簡潔美；和諧美；統一美；奇異美

一、 引言

愛美之心，人皆有之。人們執著的追求美，然而，一提到美，人們立即想到的是“江山如此多嬌”的自然美，或是優美的圖畫、動聽的樂曲、美妙的詩文等各種各樣的美。然而，數學里面，其實有著比詩畫更美的美。

二、 數學的簡潔美

漢語的語言要求言簡意賅；簡潔也是藝術設計的基本要求之一，建筑物的外裝一般強調簡潔的線條；標志線設計業強調筆法的簡潔；微標、圖案等皆如此；國畫藝術尤其顯示了這一點。同樣，數學作為邏輯性很強的學科，更以簡潔著稱；數學的簡潔美，并不是指數學內容本身簡單，而是指數學的表達形式、證明方法、理論體系的結構、數學語言及符號的簡潔。

歐拉公式：V-E+F=2，可以稱為簡潔美的極致。然而世間究竟有多少多面體？這個沒有人知道。但多面體的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從這一公式，這一簡潔而形象的表達，概括出了幾乎所有多面體都滿足的特性，這足以令人為之驚奇！

再如：三角形，盡管它有千姿百態，但人們卻用s=12ah（a為底邊長，h為該邊上的高）或s=p（p-a）（p-b）（p-c）（p為三角形半周長）去囊括所有三角形的面積。

勾股定理：a2+b2=c2。其中a、b代表直角邊，c代表斜邊。

正弦定理：△ABC的外接圓半徑R，則asinA=bsinB=csinC=2R。

還有許多復雜繁瑣的知識用簡潔的數學式子表示，如：國內生產總值=消費支出+投資支出+政府購買+凈出口計算公式：GDP=C+I+G+（X-M），以及愛因斯坦的質能方程E=mc2和萊布尼茲用∫f（x）dx表達了積分概念的豐富思想。

數學的這種簡潔美，用幾個定理、幾個式子是不足以說清的，數學中每一次進步都使已有的定理更簡潔。數學中絕大部分公式都體現了其形式的簡單，但又富有深刻的內容，偉大的數學家希而伯特說：數學的進步離不開其擁有的簡潔但又意義巨大的式子、方法。

三、 數學的和諧美

美是和諧的。和諧性也是數學美的特征之一，和諧即雅致、嚴謹或形式結構的無矛盾性。德裔美籍作家、學者和哲學教授保羅·卡盧斯曾經說過：“沒有那門學科能比數學更為清晰的闡明自然界的和諧性?！睌嫡摯髱熧悹柌裨浺舱f過，他對數學的喜愛的動機之一是因為下面這個極其美妙的公式：

π4=1-13+15-17+…。

這個公式實在太美了，將奇數1、3、5、…進行前面的組合后就可以得到π，這對一個癡迷于數學的人來講，就好比饑餓的人面對一桌豐盛的美食。

數學的和諧在于它能為自然界的和諧、生命現象的和諧、人自身的和諧找到最佳的論證。

歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，曾獲得“最美的數學定理”稱號。當θ=π時得到eiπ+1=0。

這個看似極其簡單的數學式子竟然神奇地把數學海洋里的五顆看上去沒有任何關聯的明珠如此巧妙并且簡單地就聯系在了一起，令人贊嘆不已！其中，1和0都來自算數，0被譽為具有比一切數豐富的內容；i是復數中的虛數單位，來自代數，圓周率π來自幾何，自然對數中的底數e來自高等數學中的微積分，π和e既是無理數又是超越數，這一公式神奇地將他們聯系在了一起，無一不體現數學其完美的和諧性。

著名天文學家開普勒曾說過：“幾何學里有兩個寶庫，一個是畢達哥拉斯定理，一個是黃金分割，前者可以比作金礦，后者可以比作珍貴的磚石礦?！秉S金分割充分地體現了自然界的和諧、生命現象的和諧、人自身的和諧。

畢達哥拉斯說過：凡是美的東西都具有一個共同特征，這就是各版塊與版塊彼此之間，以及版塊與整體之間固有的協調一致。由這些協調一致而產生的和諧美，在數學的海洋里都得到了體現。然而在數學的不斷發展中，原本毫無聯系的各分支中突然出現了橋梁，這些橋梁將他們緊緊地聯系在了一起，這時人們就會忽然意識到這是如此的美妙，給人一種出乎意料，但又無比神奇的美的享受，更領略到數學中的和諧美。

四、 數學的對稱美

對稱這一概念來自數學（更確切地講是歐幾里得幾何）。對稱在天文學（甚至自然界）上的研究，則始于兩千多年前的古希臘人。他們非常留意各種各樣的“對稱”現象，以至他們競創立了一種學說，他們認為世界中各種各樣的規律都是從對稱中得來的，他們認為最對稱的物體就是圓，于是他們把天文學中的各種恒星的運行軌跡畫成了圓，后來圓上再加上圓，這樣一來就發展成了后來著名的天文學。對稱是最能給人以美感的一種形式，德國數學家和物理學家魏爾曾指出：“美和對稱性緊密相連?！睂ΨQ性是數學美的基本特征之一，數學發現中的對稱美，以及數學研究中對于對稱美的追求和考慮，在數學的歷史發展中具有重要的地位。

幾何對稱，有平面上的軸對稱、中心對稱，空間中的鏡面對稱等等。平移和旋轉也都可以看作是兩次對稱的積。例如：偶函數的圖象關于y軸成軸對稱圖形、奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖形、函數f（x）圖象和它的反函數y=f-1（x）的圖象關于只想y=x對稱，這些都給人以賞心悅目之感。

代數對稱，無論是在初等代數中，還是在高等代數中，都有豐富的內容。例如共軛根式、共軛復數、對稱矩陣等，都滲透著對稱的思想。

對稱還表現在許多公式和運算中。

梯形的面積公式：s=（a+b）×h÷2，

等差數列的前n項和公式：sn=（a1+an）n2，其中a是上底邊長，b是下底邊長，其中a1是首項，an是第n項，這兩個等式中，a與a1是對稱的，b與an是對稱的，h與n是對稱的。

對稱美有各種各樣的形式，所以各種各樣的人們都能欣賞到它，人們對于對稱美的追求是淳樸的。正如我們大家所喜愛的對數螺線、雪花，如果知道了其中一部分，我們就可以推斷出全部。魏爾說：“對稱性，無論從廣義還是狹義的角度去理解定義它的含義，總是一種歷經多少個世紀以來，人們力圖用以領悟和創造秩序的一種美和完善性的觀念。”迄今為止，對稱性這種數學美，早已超越現代數學而滲透到各門自然科學之中，并且越來越多地獲得更為豐富的成果。

五、 數學的統一美

統一美反映的是審美對象在形式或內容上的某種共同性、關聯性或一致性，它能給人一種整體和諧的美感。數學對象的統一性通常表現為數學概念、規律、方法的統一，數學理論的統一，數學和其他科學的統一。

所謂統一美，是指部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。數學中有好多數學體現統一的例子。例如，引入負數，自從引入相反數的概念后，使得有理數的加減法得到了統一，并且我們統一成代數和的形式。從有了倒數的概念后，除以一個不等于0的數就等于乘以它的倒數，這樣乘法和除法就得到了很好的統一。例如平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長定理均可統一到圓冪定理之中。在體積計算沖有所謂的“萬能計算公式”，它能統一地應用于棱（圓）柱、棱（圓）錐及棱（圓）臺的體積計算。

一切客觀事物是相互聯系的。因為，作為反映客觀事物的數學概念。數學定理、數學公式、數學法則也是互相聯系的，在一定的條件下可以處于一個統一體之中。例如運算、變換、函數分別是代數、幾何、分析這三個數學分支的重要概念，在集合論建立以后，便可以統一于映射的概念。

數的概念從自然數到分數，負數到無理數，逐步擴大到后來的復數，這期間經歷了不計其數的坎坷，才使得數的范圍得到不斷的擴大，使其在數學和其他各學科中的作用也得到不斷地增大。那么，人們就很自然地聯想了能否把如今的復數再進一步地推廣。

英國著名的數學家哈密頓經過15年的思索，也沒能獲得最后的成功。于是，他不得不妥協，終于發現了四元數，即形為a+bi+cj+dk，其中a，b，c，d為任意實數，i，j，k起著i在復數中的作用。若c，d為0，則四元數a+bi+cj+dk是一般的復數。實數部分稱為四元數的數量部分，而其余是向量部分。向量部分的三個系數是點p的笛卡爾直角坐標，而i，j，k是定性的單元，幾何上其方向是沿著三根坐標軸。

四元數的出現使得線性代數得到了很好的發展，英國著名的物理學、數學家麥克斯韋利用四元數及其相關的理論建立起了“電磁理論的工具和更簡單的方法”。

愛因斯坦也一直追求于建立起宇宙統一的理論，他用簡潔的數學表達式E=mC2揭示了自然界中質能關系，這不得不說是一件具有相當完美的統一的、優美的藝術品，但是他始終沒能將其統一。如今人們在不斷地探索著充滿著神奇色彩的世界，同時又在不斷地用統一的觀點去認識世界，然而宇宙是沒有盡頭，所以統一美也需要我們不斷的追求和探索。

六、 數學的奇異美

大千世界無奇不有，而奇異性也是數學美學的一個重要特征，它給數學發展帶來了新的動力，數學中的奇異是吸引許多人喜歡數學的原因之一，奇異有時與稀罕聯系在一起，人們也因此而特別愿意考察它，了解它，研究它，欣賞它。奇異性往往給人們一種奇特而新穎的感覺，就數學中的奇異美而言，頗有一點“出乎意料”和“令人震驚”的意味，正如一位評論家所說：“凡是新而不平常的東西，都能在人們的想象中誘發出一種樂趣，因為這種東西都能給人們在心靈的深處感受到一種愉快的驚奇，以及一種好奇心的滿足，以至于產生一種過去從未有過的新的觀念。”而數學領域的這些觀念的產生，就來自于數學家們對于數學領域中之奇異美的追求和渴望。所以美和奇異緊密相連，并且數學中充滿著奇巧的符號、公式、算式、圖形和方法。

全世界有很大影響的兩份雜志曾聯合邀請全世界的數學家們評選“近50年來的最佳數學的問題”，其中有這樣一道很有趣的問題：有哪些形如abbc的分數，通過不正常地將b約掉后得到ac，并且結果卻是正確的？

經過思考，可以尋找到四個如下的分數：1664，2665，1995，4998。這幾個計算，在運算錯誤的情況下卻能得到正確的結果，在歪打正著的同時也給人以驚喜，同時也展現出了一種神奇之美。

同樣我們也可以找到下面幾個式子：

25×92=2529 25×2531=252531 112×913=112913

還有一個典型例子：有一天法國數學家蒲豐邀請許多賓朋來家做了一個奇特的實驗。他事先在白紙上畫好了一條條有等距離的平行線，將紙鋪在桌上，又拿出一些質量勻稱長度為平行線間距離之半的小針，請客人把針一根根隨便扔到紙上，蒲豐則在一旁計數，結果共投2212次，其中與任意平行線相交的有704次，蒲豐又做了一簡單的除法，然后他宣布這就是圓周率的近似值，還說投的次數越多越精確。

1777年蒲豐提出：只需計算針與任意投向間距離為a的平行線束的相交概率，就可以得到圓周率π的數值，其關系式為，π=2la·1p=2lNan。其中l（l

七、 結束語

綜上所述，本文從五個方面闡述了數學中的美學，然而數學美學并不僅限與此，還有許多方面有待于我們去概括和總結，探索和挖掘，數學研究中的美學考慮，對于我們選擇正確的研究方向能起到積極的作用，因為美感能預示“將來的研究是否富有成果”。從各個數學分支的展開到整個數學歷史的發展就像一個精彩的故事那樣，顯得波瀾起伏和扣人心弦，即在情理之中，又在意料之外處處顯現出數學美學，數學家們追求各種各樣的數學美，并在這種追求中不斷地激發出創造的熱情和沖動，直至無法擺脫而達到升華的境地，而累累的豐碩成果，也就在這個升華的境界中，不斷地為數學美的追求者所具有。

參考文獻：

[1]王庚.數學文化與數學教育[M].科學出版社，2004.

[2]趙振威.數學發現導論[M].安徽教育出版社，1993.

作者簡介：

李秋岑，四川省成都市，成都七中嘉祥外國語學校高2019級6班。