基于報童模型的供應鏈管理中利潤與風險平衡研究

張旺

摘要： 研究了供應鏈管理中利潤與風險平衡問題，在已有理論基礎上對經典報童模型進行了擴展，把單周期報童模型擴展為雙周期帶有缺貨損失與保管費用的訂購模型。用一段時間內的期望利潤表示供應鏈核心企業零售商所掙的利潤，采用經典的利潤均值方差算法來衡量風險的高低程度。在綜合考慮利潤的期望與風險平衡時，提出效能函數來平衡收益期望與風險。并結合實例進行模擬仿真，驗證了模型的可行性。結果表明：本文帶有缺貨損失與保管費用的訂購模型，比沒有保管費用的訂購模型所產生的訂購量更為合理，用效能函數來平衡供應鏈管理中的利潤和風險具有科學性。

Abstract： The problem of profit and risk balance in supply chain management is studied. Based on the existing theory， the classic newsboy model is extended to expand the single-cycle newsboy model into a two-cycle ordering model with out-of-stock loss and storage costs. The expected profits over a period of time is used to represent the profits earned by retailers in the core supply chain， and the classic profit mean variance algorithm is used to measure the level of risk. When considering the profit expectation and risk balance， this paper puts forward the efficiency function to balance the return expectation and risk. The simulation results show that the model is feasible. The results show that the ordering model with the out-of-stock loss and storage cost is more reasonable than the ordering model without the storage cost， and it is scientifical to balance the profit and risk in supply chain management with the performance function.

關鍵詞： 報童模型；供應鏈管理；缺貨損失；風險平衡

Key words： the newsboy model；supply chain management；out of stock loss；the balance of risks

中圖分類號：F253.4；F224.7 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）03-0106-04

0 引言

自改革開放三十多年來，我國的經濟發展取得了舉世目睹的成績。但是，也帶來了諸多的問題，比如：市場消費產品呈現多樣化，其使用生命周期也發生了變化。在市場經濟大環境下，市場競爭環境以及客戶需求帶來的不確定性對決策者的影響越來越明顯。

一般情況下，風險中性的決策者做重大決策時都盡量規避市場不確定帶來的風險。我們都知道，風險與利潤是成正比的，風險越大利潤越大，風險越小利潤越小。然而，怎樣才能使利潤相對比較大、風險相對較小呢？這就是本文所研究的目的。

在分析供應鏈環境下產品銷售利潤與風險中，最常用的理論基礎就是傳統報童模型。傳統經典報童模型前提條件就是假設商品是單周期的，賣不出去必須退回供應商那里。很顯然，這個假設與實際不符合。傳統經典報童模型還假設當進貨量少于或多于市場需求時，對經銷商平均利潤產生的影響忽略不計。但是，實際銷售中這部分影響往往起到關鍵性的作用。

在某種環境中，如果顧客需要特定的一種產品，而經銷商卻不能夠按照要求提供的時候。這時候，顧客會對經銷商的品牌產生懷疑，從而使經銷商的聲譽受到某種程度的影響。事后，經銷商要想彌補這種丟失的聲譽，就要在宣傳或者其他方面投資，由此而使供應鏈中整個利益價值鏈和決策者提供的決策策略也隨之發生了變化。市場商機千變萬化，而供應鏈管理恰恰能對市場需求變化的規律做出一定的科學預測，從而協調庫存訂貨量來減小各個企業之間的成本投入和庫存風險。在雙周期供應鏈中，當進貨量大于市場需求時，經銷商也不一定非要以低價把商品退回，也可以保存到下一周期進行銷售。何平（2014）[1]研究了擴展的二次訂購報童模型，在文章開始就以一個簡單的例子證明了，銷售商為了獲得較理想的純利潤，寧愿剩余貨物，也不愿意過早退出市場。所以，風險中性決策者都會優先選擇冒險訂購策略而非選擇保守訂購策略。因此，在現實生活中，我們應該把缺貨損失資金與倉庫保管一個周期的費用考慮到庫存模型中，顯得更為合理。本文將傳統報童模型擴展為帶有缺貨損失與保管費用的雙周期模型。

1 文獻綜述

供應鏈決策中涉及信息流、資金流和物流的管理，對于后兩者的研究比較多。大部分都是通過一定的數學建模，來模擬庫存對整個供應鏈產生的影響。眾所周知，對于供應鏈上各個環節的零售商（供應商）來說，“零庫存”模式是他們比較青睞的。一些學者和企業家研究利潤與風險問題大多是基于報童模型的。學者最初研究經典報童模型，僅僅用于銀行金融業，目標函數只是求的核心企業的利潤最大值，并沒有把市場風險作為一個影響因素考慮進模型中。隨著近代科學的發展，學科交叉現象普遍存在，各個行業的學者專家在經典報童模型的基礎上又做了許多擴展，比如：模型參數的擴展、決策變量和目標函數的擴展等。其中對目標函數的擴展，表現在管理者做決策的時候，不能只考慮利潤最大值，還要考慮利潤受庫存風險的影響。對于風險中性的投資者來說，他們對風險不排斥也不喜歡。但是，對于風險厭惡型的投資者來說，他們非常厭惡風險，會想盡一切辦法規避風險。市場經濟環境下，每個人都是社會人，并不是說一定是風險中性或者風險厭惡型的。所以，經常把這兩種類型的放在一起進行研究分析，顯得更為合理。endprint

Markowitz（1962）[2]最早提出用均值方差的方法來衡量供應鏈利潤風險程度，這一方法在銀行資金流領域得到了廣泛的應用和擴展，他也因此名聲大噪獲得了諾貝爾獎。Eeckhoudt（1995）等[3]以經典報童模型為基礎，分析了如果市場需求高于初始訂貨量時，風險適中的投資者可以進行二次訂購這種擴展模型，他們發現分二次訂貨的風險比一次訂貨風險要低很多。Chen & Federgruen（2000）[4]以經典報童模型為基礎，擴展了一系列的庫存模型，并引入均值方差的概念，研究結果表明：用均值方差大小來衡量庫存風險高低的方法是科學有效的，投資者根據此所得到的最優決策比依據傳統庫存模型做出的最優決策要更優。Chen（2007）等[5]提出經典報童模型中CVaR度量準則，以此來衡量風險中決策者的最優策略比風險不敏感決策者最優策略更優。Lau等[6]用利潤期望除以利潤標準差得到一個比值，用這個比值來衡量及回避報童模型中的風險，并提出效能函數的概念，表明：用效能函數來平衡利潤與風險是非常科學的。楊建奎等（2009）[7]研究了單周期報童模型問題，在衡量風險的時候對傳統的均值方差分析做了擴展，采用了半方差分析法來進行風險分析，研究結果表明與用均值方差度量風險的模型比較，半方差分析法得到的利潤比前者大，風險比前者小。胡月華（2013）[8]研究了供應鏈中各種擴展的報童模型，并把各種擴展模型運用到實例中，對結果進行了對比分析。很多學者從市場需求分布上入手，對報童模型進行擴展，并形成了豐富的成果。宋海濤（2004）[9]等假設市場需求為三角分布，研究了可追加訂購報童模型在使得期望收益最大化情況下，分組討論了進貨量的求解算法。

2 報童模型的擴展模型

2.1 模型構建

庫存管理是供應鏈管理中的一個非常重要的組成成分，它體現了企業對市場做出快速反應和庫存成本兩個矛盾問題。假如：庫存商品過多，則核心企業競爭的自由資金就會減小，不利于資金運轉。如果，庫存商品太少甚至為零，則當市場需求時，核心企業會由于反應過慢錯失商機。作為最基本的庫存模型之一的報童模型，就是在市場需求為某種隨機需求下，零售商尋找產品的最優訂貨量，使得其利益達到最大值，風險達到最小值。

在供應鏈管理中，決策者首先要做的就是根據目前市場環境情況，決定商品的訂購量q以滿足不多于雙周期內市場需求量x。假設x是非負的連續型隨機變量。其分布密度為f（x），分布函數為F（x）。訂購價格為c，銷售價格為p，倉庫保管費用為r，缺貨損失費為s。顯然，實際當中應該有如下關系成立：r<

當市場需求不大于訂貨量時，即x？燮q時，總收入為賣出貨物的收入px，加減去保管費用剩余收入（q-x）（p-r），減進貨支出cq。

當市場需求大于訂購量時，即x>q時，總收入為賣出貨物的收入pq，減去進貨成本cq，減去缺貨損失s（x-q）。

根據上面分析，在雙周期內供應鏈總利潤？仔（q）滿足如下關系：

？仔（q）=px-cq+（q-x）（p-r），x？燮q（p-c）q-s（x-q），x>q

決策者作為一個社會人在制定策略時，主要考慮利潤與風險的函數，目標是使利潤最大風險最小，通過轉換為線性規劃問題，進行一些簡單的計算，可以得出決策者決策的最優訂購方案。

2.2 最優決策分析

根據傳統報童理論[10]，則收益期望E（？仔）如下式所示：

E（？仔）=■[px-cq+（q-x）（p-r）]f（x）dx+■[（p-c）q-s（x-q）]f（x）dx

=（p-c-r）q■f（x）dx+r■xf（x）dx+（p-c+s）q■f（x）dx-s■xf（x）dx

=（p-c+s）q-sE（x）-（r+s）■F（x）dx

對收益期望分別求一次導數和二次導數：

■=（p-c+s）-（r+s）F（q）

■=-（r+s）f（q）？燮0

因為■？燮0，且不恒為零，所以收益期望有最大值。

當■=（p-c+s）-（r+s）F（q）=0時取得最優訂貨量。此時F（q*）=■ q*=F-1（■）

期望收益是一個關于訂貨量q的函數，所以其也是一個隨機變量。它的實際含義是指零售商某一段時間內的平均收益。收益方差的實際含義表示實際收益與期望收益的偏離程度，也就是本文研究的投資風險。偏離程度越大，風險越大，偏離程度越小，風險越小。則收益期望D（？仔）如下所示：

D（？仔）=E[（？仔-E（？仔））2]

=■[px-cq+（q-x）（p-r）-（p-c+s）q+（r+s）■F（x）dx+sE（x）]2f（x）dx+■[（p-c）q-s（x-q）-（p-c+s）q+（r+s）■

F（x）dx+sE（x）]2f（x）dx

=■[sE（x）+（r+s）（■F（x）dx-q）+xr]2f（x）dx+■[sE（x）+（r+s）■F（x）dx-sx]2f（x）dx

下面把期望收益和風險方差轉化為線性優化問題進行討論：

C1=maxE（？仔）

s.t.D（？仔）？燮r0

C2=min D（？仔）

s.t.D（？仔）？叟p0

其中r0是風險上線，p0是利潤下限，問題轉化為關于期望與方差的線性規劃問題，結合目標函數和約束條件的性質進行分析。

3 算例仿真

假設市場需求X服從均勻分布，即X～U[a，b]，設a=10，b=30。則期望E（x）=■=20，方差D（X）=■=■，零售價格p=14，成本價c=7，缺貨損失s=9，保管費用r=1。風險上線r0=-90，利潤下限p0=150。

為了便于計算和算例仿真，對收益方差進行轉換。

D（？仔）=E[（？仔-E（？仔））2]=E（？仔2）-E（？仔）2

通過前面的分析，我們可以得出擴展報童模型的期望收益和收益方差。兩者完全是由數學里面的期望方差演變而來，并沒有把單位這個因素考慮進去。然而，在實際中期望和風險都是有單位的。有時候，也會出期望收益很大，收益風險也很高這種矛盾的局面。所以，為了避免不同單位的函數視圖問題和其矛盾局面出現，引入效能函數I。效能函數起到了平衡期望收益和收益風險的作用，在一些文獻中也有引入效能函數I來平衡收益和風險的情況。定義I？仔=■，從定義中可以看出，效能函數與期望收益成正比，與收益風險的標準差成反比。由于前面證明了期望利潤和收益風險函數均為凸函數，所以，效能函數存在最大值。當期望利潤取得相對較大值時，而收益風險相對較小時，效能函數取得最大值，此時的訂貨量滿足風險適中的投資者的要求。

圖1是根據以上數值假設，用MATLAB工具編程仿真得出供應鏈利潤和風險可視圖。其中E（？仔）是市場需求為均勻分布函數的帶有缺貨損失與保管費用的雙周期模型的期望收益走勢圖。很明顯，收益期望是一個凸函數存在極大值，也就是存在最大的訂貨量q*使其達到最大值。當進貨量q<10時，均勻分布的需求在此時處于零需求狀態，此時有一定的訂貨量但不是很多。市場沒有需求所以貨物都賣不出去，只好堆在倉庫等待下個周期再賣出，因而這一段的收益期望為負數，正體現了倉庫保管費用。在訂貨量從10開始緩慢增大時，此時有一定的市場需求，但是需求量很小，此時期望收益變化并不明顯。在訂貨量增加的同時，市場需求也在增加，根據數學理論中的零點定理，可以找到一個點使期望收益為零，此點就是零售商不賠不賺的臨界點。

當訂貨量大于這個臨界點時，期望收益出現正值，并且呈現遞增趨勢。圖中訂貨量在40左右，收益達到最大值，根據最優訂貨量公式可以算出此時q*=42。市場需求保持不變情況下，若訂貨量達到最優訂貨量后仍然表現為遞增，此時收益的期望則呈現減小的狀態。市場需求一定，訂貨量越多，庫存商品量越大，保管費用增加，因而收益也隨之減小。所以，訂貨量不宜過多也不宜過少。

圖1中■D（？仔）是期望收益函數，其中系數■是將收益函數進行成倍的放縮，使其更好地呈現一定的數學規律，其風險的實際含義是表示實際收益與期望收益的偏差程度。從圖中可以看出，方差函數處于零軸以下，表明：風險對利潤是負相關，其絕對值大小表示風險大小。很明顯，方差函數也是一個凸函數存在最大值，并且隨著收益期望的增加而增加，減少而減少。這也充分說明了利潤與風險的關系，利潤越大風險越大。大致在訂貨量35左右其絕對值達到最小值，隨著訂貨量的增加，風險逐漸變大。通過上面的假設，結合具體的擴展模型進行編程求解，可以得出零售商最優訂貨量應該在35到42之間。

圖1中r0=90，p0=150分別是風險上限和利潤下限。對于不同的決策者利潤和風險臨界值是不同的，有的決策管理者是中性的，對風險并不厭惡，他們認為風險越大，相對利潤越大。對于風險厭惡的決策者，往往喜歡低風險，相對高利潤的訂貨策略。所以，這里的風險和利潤上下限是根據企業決策者管理思想而定的。滿足風險的訂貨量范圍是10到43，滿足利潤訂貨量范圍是20到65。

圖1中500I？仔是效能函數，乘以500是對其進行了有效的放縮，為了使其規律性更容易可視化。從圖中可以看出，效能函數也是凸函數存在最大值，最大值在38附近。隨著訂貨量的進一步增加，效能函數逐步下降。綜合收益期望、收益風險和效能函數綜合考慮，在本次算例仿真中最優訂貨量應該是38左右。

4 結論

本文對傳統經典報童模型進行擴展，提出了帶有缺貨損失與保管費用的庫存模型。通過計算機仿真驗證了模型的可行性，并把抽象的數學模型進行可視化表示，報童模型在供應鏈中呈現的經濟學規律一目了然。由于現實中事件的不確定性因素太多，所以提出用效能函數來平衡利潤與風險，結果表明：效能函數具有明顯的現實意義。綜合考慮收益、風險和效能函數之間的關系得出最優訂貨量，既能滿足收益最大化又能滿足風險最小化。

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