基于MMTD的改進的Bayes軟閾值算法

李紅麗，馬耀鋒

(鄭州工程技術學院 機電與車輛工程學院,鄭州 450044)

圖像去噪是數字圖像處理中一個非常重要的研究領域[1]，如何兼顧降低圖像噪聲和保留細節是圖像去噪存在的一個難題。圖像在傳輸和獲取的過程中會受到各種噪聲的干擾，噪聲不但干擾人們對圖像的理解，而且還影響到后續圖像的處理效果，如圖像的邊緣檢測、圖像分割、目標識別等。中值濾波和均值濾波是經典的去噪算法，但它們在抑制噪聲的同時，使圖像邊緣變得模糊。小波變換由于具有良好的時頻域局部特性，可以靈活地對信號局部奇異特征進行提取以及時變濾波，小波去噪可有效地濾除噪聲并保留信號高頻細節信息，因此在圖像去噪中得到廣泛的應用[2]。

長期以來，人們在小波去噪方面進行了大量的研究，有利用小波系數相關性去噪法、通過小波閾值去噪法、采用模極大值去噪法等.從最小均方誤差的角度來看，小波閾值去噪法在取得較好的視覺效果的前提下，去噪效果基本可達近似最優[3-4]。常用的閾值確定方法有：通用閾值法VisuShrink法，Sure與VisuShrink閾值結合產生的SureShrink法，依據Minmax準則的Minmaxi閾值，Chang S G等人提出的BayesShrink法[5]等。常用的閾值函數有硬閾值函數和軟閾值函數[6]：硬閾值法由于其在閾值處的不連續使所得到的圖像產生附加振蕩；由軟閾值函數估計得到的小波系數整體連續性雖好但與原始小波系數之間存在偏差，得到的重構圖像雖然平滑性能比較好，但會導致小波圖像邊緣模糊。

本文針對小波閾值去噪的不足，將處理模糊信息的中介數學系統引入到小波圖像去噪算法中，根據中介真值程度度量方法和閾值周圍小波系數中含有噪聲程度的模糊性，對閾值周圍的模糊區域進行處理[7-9]，計算含噪模糊的小波系數的保留程度，采用BayesShrink閾值準則，提出了基于MMTD的Bayes軟閾值小波圖像去噪算法。通過仿真實例，與典型算法處理結果相比表明，基于MMTD與小波相關性的小波閾值圖像去噪算法有效去除噪聲，并較好地保持圖像邊緣細節。

1 中介真值程度度量

1.1 中介模糊

如果設P為具有一性質的謂詞，x為任一變量，P(x)表示變量x“┓P”表示謂詞P的反對對立面，則P與┓P就抽象地表示為一對反對對立性質；“～”表示模糊性質，讀為“部分地”。若變元x滿足～P(x)&～┓P(x)，則稱x為P與┓P的中介對象，模糊否定詞“～”的語義深刻地反映了中介模糊的概念。

1.2 真值程度的度量

超態[7]是對于“非此即彼”的現象擴展，在形容事物的狀態時有好有壞，更具體地分其實還存在更好和更壞的狀態，這種“更“的狀態在此就可以用超態來表示。

超態一般用符號“+”表示，對應的真值集合為

Truth={+T,T,M,F,+F}，

由此可將一般數值化應用的數值區域劃分為5個對應的真值區域，即+P，P，～P，┓P，┓+P，如圖1所示。圖1中，αT為謂詞P的εT標準度；αF為┓P的εF標準度?？梢酝ㄟ^計算相對于P或┓P的距離比率函數hT(y) 或hF(y)得到每個數值區域中的真值程度度量。

圖1 數值區域與謂詞的對應關系

2 算法描述及參數確定

2.1 最佳閾值確定

小波閾值去噪法中關鍵技術之一是最佳閾值λ的確定。SureShrink法首先通過SURE (Stein Unbiased Risk Estimator)給定一個閾值T，再利用最小二乘法得到它的估計值λ。VisuShrink法是使用小波變換后所有高頻系數的數目和噪聲標準差來確定閾值?；趫D像小波系數廣義高斯分布特性，在Bayes框架下參照最小化Bayes風險進行計算，Chang S G等人得到BayesShrink 閾值， BayesShrink 閾值考慮了圖像小波系數的廣義Gaussian特性，子帶的自適應性更強，算法復雜度也較簡單，其閾值計算公式為

λ=σ2/σx,

(1)

式中：σ2為加入的高斯噪聲方差；σx為不帶噪聲信號的標準方差。

本文在BayesShrink 閾值的基礎上提出一種針對小波分解的不同方向不同子帶的閾值確定方法。假設圖像(大小為n×n)含有加性高斯白噪聲ε(i,j)～N(0,σ2)為獨立同分布，與原始圖像f(i,j)也相互獨立，則加噪圖像表示為

g(i,j)=f(i,j)+ε(i,j),

(2)

式中i,j=1,2,…,n,則不同子帶不同方向的小波閾值確定步驟如下：

a.估計噪聲方差時，通過對各子帶各方向小波系數，采用空域非線性方法的median函數得到

σ(s,j)=median(Y(s,j))/0.6745,

(3)

式中：Y(s,j)代表帶噪圖像的小波系數；s代表不同方向的小波系數，s=1，2，3分別代表水平方向系數Hj，垂直方向系數Vj，對角線方向系數Dj；j代表分解層數(j=1,2,…,N)，N是分解的最后一層。

b.估計子帶中信號的方差σx，因為Y(s,j)服從高斯分布，有

(4)

式中n(j)表示圖像經過小波分解后的第j層的子帶的大小。

由于原始圖像信號與噪聲信號相互獨立，則圖像小波系數與噪聲生成的小波系數也相互獨立，且由公式(2)得到

(5)

將式(3)與式(5)代入式(1)，就可以得到本文算法中用到的不同子帶、不同方向的閾值表達式

(6)

2.2 改進的閾值函數

本文算法在軟閾值函數基礎上結合中介真值程度的度量方法，提出一種改進的閾值函數。改進算法中閾值周圍系數值的濾除和保留程度由中介真值程度度量中的一維距離比例函數來確定，具體算法如下：

根據超態的概念和中介模糊區域的設定(本算法的模糊區域是閾值周圍的小波系數，因為無法判斷這些小波系數中是否含有噪聲)，根據含有噪聲的程度可將小波系數的值劃分為三個區域，分別為：S1，S2和S3，如圖2所示。

圖2 基于MMTD和軟閾值的高頻小波系數數值區域劃分

對于S1區域，由仿真測試和理論分析可知，小于0.95λ的高頻系數基本屬于噪聲，故全部清除。S1部分的函數為

(7)

對于模糊區域即S2部分，小波系數含噪聲成分模糊用本文中的中介算法處理，根據 MMTD的距離比例函數計算來確定小波系數的保留程度，同時將軟閾值函數萎縮一個λ大小用來消除恒定偏差，得到S2的函數

(8)

對于S3區域部分，為解決原軟閾值函數中“估計信號與原始信號之間存在恒定偏差”的不足，本文研究了最新的一些軟閾值函數的改進算法，如楊立的基于改進小波閾值函數的圖像去噪等，這些算法采用矯正因子來控制軟閾值的萎縮程度，效果較好，但是在確定矯正因子時候不具備自適應性。因此，本文算法基于上述改進算法中的“軟閾值的萎縮量盡量縮小”的思想，同時又根據“小波系數越大噪聲程度越低”的結論，將閾值與小波系數的比值與軟閾值的矯正因子相關聯，小波系數越接近閾值，則矯正因子值越小，反之就越大，進而得到S3區域的函數為

(9)

如式(9)，當Bi,j=50λ時，萎縮值為 0.02λ；當Bi,j=5λ時，萎縮值為0.2λ，萎縮量實現自適應地調節。

綜上所述，新的閾值函數通過對閾值周圍模糊區域的處理，在改善了硬閾值函數的不連續性的同時，也改善了軟閾值函數的恒定偏差的缺陷。

3 算法步驟

本文采用最佳閾值結合改進的新閾值函數對圖像進行去噪，為了使小波圖像去噪效果更好，我們要選擇合適小波基函數和分解層數。Haar小波具有簡單和較好的對稱性，比較適合處理階躍信號，所以本文采用 Haar小波。圖像中高頻信息表示邊緣輪廓引起的灰度突變，反映了圖像的細節變化。小波分解的層數過高會導致邊緣信息丟失，所以本文的小波圖像分解層數采用3 層，對應的算法流程如圖3所示。

4 仿真實驗及結果分析

為了驗證本文算法的有效性，在Matlab平臺下，選取256*256的標準灰度測試圖像Lena和Baboon，Lena圖像平滑區域較多，Baboon圖像邊緣紋理較多。將測試圖像分別加入均值為0，方差σ=10,20,30的高斯噪聲，分別用硬閾值函數、軟閾值函數和本文算法進行去噪，對去噪結果從客觀和主觀兩方面進行對比分析。

圖3 算法流程

4.1 客觀評價

常見的客觀評價標準有峰值信噪比(PSNR)和最小均方差(MSE)，本文采用PSNR來衡量去噪效果，其定義為

(9)

(10)

式中：f′(i,j)為去噪后圖像；f(i,j)為原始圖像。

采用硬閾值法、軟閾值法和本文算法對含噪Lena和Baboon圖像去噪，所得PSNR如表1所示。

表1 各閾值去噪算法應用與Lena和Baboon圖像的PSNR(dB)比較

從表1可以看出，本文方法與傳統的軟、硬閾值方法相比，峰值信噪比PSNR方面都有明顯的提高，幅度從1dB～3.611dB不等，說明本文算法能夠較好地保留圖像的邊緣和細節信息，去噪效果很好。

4.2 主觀評價

圖4是對加入σ=20的高斯噪聲的標準Lena圖像的去噪結果。

圖4 對加入 的高斯噪聲的標準Lena圖像的去噪結果

從圖4可以看出，本文算法較傳統算法取得了較好的去噪效果，圖像的含噪量得到明顯地減少，并且能夠很好地保留圖像的紋理細節。

5 結果與展望

本文通過分析傳統閾值函數的不足，采用MMTD方法對閾值周圍的模糊區域進行研究，通過利用一維情況下距離比例函數計算出該區域小波系數的保留程度，對系數較大的區域采取閾值和小波系數之間的比值進行萎縮操作。仿真結果表明，本文算法能夠有效去除圖像噪聲，很好地提高了峰值信噪比，并較好地保持圖像邊緣細節，人眼視覺效果更好，因而更具有實用性和有效性。

本文提出的基于MMTD的改進的Bayes軟閾值算法，雖然能有效地去除圖像噪聲，但是運算量較大，改進算法運行時間較長，需要從提高效率的角度進一步優化該算法。另外，本文算法仿真測試采用的是256*256的標準灰度測試圖像Lena，不是來自實際工程中采集的圖像，下一步可通過攝像頭傳感器采集實際的圖像，將本文算法應用到實際工程中，達到理論與實際工程相結合的目標。

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