數學思想在高中生物教學中的應用

婁藍英

摘 要：在學科綜合的指導思想下，運用數學學科中的“集合思想、函數思想、計數原理、歸納推理”等數學思想在高中生物教學中的應用研究，有效提高生物課堂的有效性，提高學生的解題能力和解題速度，同時培養學生不同學科知識的遷移能力和綜合發展能力。

關鍵詞：數學思想；高中生物教學；應用

數學是學習自然科學的一門基礎性和工具性的學科，在高中生物教學中，應對不同的教學內容，教師可以引入不同的“數學思想”幫助學生理解不同的知識，“集合思想”能夠讓學生更加明確、生動、形象地理解不同的生物學概念以及不同概念之間的聯系。把“分類加法計數原理”和“分步乘法計數原理”應用于孟德爾定律，復雜問題簡單化，同時培養學生學科之間的遷移能力和綜合能力。通過“歸納推理”“函數思想”，拓展學生思維，引導學生從具體的生物現象中建構抽象的數學模型，再用抽象的數學模型來解決具體的生物學現象，使學生能運用數學思維去考慮生物學問題，培養學生分析問題、解決問題的能力。

一、集合思想

在高中數學的學習過程中，集合是一個重要的概念和知識點。一般地，我們把研究對象統稱為“元素”，把一些元素組成的總體叫做“集合”，不同的集合之間又存在“子集”“交集”等關系，學生通過這些概念的學習，可以有效地把它運用到高中生物學習中。高中生物教材中有上千個概念，不同的概念之間有區別也有聯系，我們可以使用集合之間不同的關系將生物概念分門別類地進行總結和整理，從而幫助學生理解和記憶。

1.子集

一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，在數學中可用Venn圖表示（圖1）。

此概念可以用來分析生態學中的“種群”“群落”和“生態系統”等概念，種群指的是占有一定空間和時間的同一物種個體的集合體。也就是說種群作為一個大的集合，其內部的同一物種的生物就是該集合內的“元素”。群落指的是占有一定空間和時間的所有生物種群的集合體，也就是說在群落這個大集合里，所有的種群就是該集合內的“元素”。因此，種群包含于群落中，種群是群落的子集。以此類推，群落在整個自然界的生態系統中也只是其中一個“元素”，群落包含于生態系統中，群落是生態系統的子集。所以可以根據以上關系，“種群”“群落”和“生態系統”三個集合可以畫出相應的Venn圖（圖2）。

2.交集

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，在數學中可用Venn圖表示（圖3）。在生物學中不同的概念（集合A、集合B）之間有相似點或共同的條件（即交集C），比如：很多物質或結構是植物或動物特有的，但也有些結構是動植物都有的，植物性糖類（集合A）、動物性糖類（集合B）、動植物兼有的糖類（交集C）。有些概念之間比較復雜，用文字表述啰嗦不明，我們就可以借助交集圖，比如：蛋白質、抗原、多糖、酶、激素之間的關系（圖4）。

二、函數思想

函數是描述事物運動變化規律的數學模型，使用數學語言描述事物就稱為數學模型。引導學生從具體的生物現象中建構抽象的數學模型，再用抽象的數學模型來解決具體生物學現象，使學生能運用數學思維去考慮生物學問題，培養學生的學科綜合能力和分析、解決問題的能力。

實例：在理想條件下，細菌每20min分裂一次。問題：（1）如果從一個細菌開始，每繁殖一次，細菌數目有多少？（2）根據數據變化規律，用y表示細菌數目，x表示細菌繁殖代數，寫出x代后細菌種群數目的表達式？（指數函數y=2x）（3）以時間為橫坐標，細菌數目為縱坐標，畫出細菌種群數量增長的曲線。結合數學“指數函數”的概念與性質，學生能更好地理解生物知識——“指數增長”。

三、計數原理

在小學時我們已學習了加法和乘法，這是將若干個小的數結合成較大數的最基本技巧，而由他們衍生出來的“分類加法計數原理”和“分步乘法計數原理”是計數問題兩個最基本、最重要的方法。《遺傳與進化》模塊中孟德爾豌豆雜交實驗的研究中充分體現和利用了“計數原理”，教師可利用學生已有的數學知識組織教學，讓學生親身體驗和感受孟德爾遺傳定律的發現過程，培養學生的科學思維和知識應用能力。

1.分類加法計數原理

分類加法計數原理是指完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法。

問題：一對表現型正常的夫婦，有一個患白化病的女兒和正常的兒子。此兒子與一白化病女子婚配，他們生一個正常孩子的概率是多少？

分析：白化病是常染色體隱性遺傳，基因設為B、b，則患病女兒為bb，父母均為Bb，正常兒子基因型為BB或Bb，概率分別為1/3，2/3。“此正常兒子與患病女子（bb）婚配，生一個正常孩子的概率”這件事完成有兩類情況，第一類為BB1/3×bb→1/3Bb（正常），第二類為2/3Bb×bb→1/3Bb（正常）+1/3bb（患病），那么完成這件事“他們生一個正常孩子的概率”為：1/3Bb（正常）+1/3Bb（正常）=2/3。此類問題，最重要的特征是“或”字的出現。

2.分步乘法計數原理

分類加法計數原理是指完成一件事需要兩個步驟，做第一步有m種方法，做第二步有n種方法，那么完成這件事共有N=n×m種不同的方法。孟德爾的自由組合定律涉及兩對（或兩對以上）等位基因（獨立遺傳），因此在解答相關題目時，多數學生存在錯誤率高、解題速度慢的問題，此時我們就可以利用數學中的“分步乘法計數原理”，化難為簡。

（1）計算配子的種類

問題：三對等位基因獨立遺傳（位于三對同源染色體上），則AaBbCc能產生幾種配子？

分析：AaBbCc有三對等位基因，所以這件事可以分三步：第一步，Aa能產生2種配子，第二步，Bb能產生2種配子，第三步，Cc能產生2種配子，所以答案是2×2×2=8，AaBbCc總共能產生8種配子。endprint

（2）計算子代基因型、表現型的種類

問題：兩種基因型親本雜交（AaBbCC×AaBbcc），子代基因型和表現型分別有幾種？

分析：表1

同理我們也可用此方法計算子代基因型、表現型所占比例，如親本雜交（AaBbCc×AaBbcc），子代中基因型為AaBbcc個體的概率為：1/2×1/2×1/2=1/8，表現型為A_B_cc個體的概率=3/4×3/4×1/2=9/32。

四、歸納推理

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。歸納是從部分到整體，從個別到一般的過程，它屬于合情推理。

傳統上，根據前提所查對象范圍的不同，把歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理。完全歸納推理考查了某類事物的全部對象，不完全歸納推理則僅僅考查了某類事物的部分對象。自然界的生命現象多種多樣，呈現同一生命運動規律的個體往往是無限的，所以在生物學的科學發現中，不完全歸納推理不但是常用的，而且是重要的思維方法。

1.枚舉歸納推理

枚舉歸納推理是根據某類事物的部分對象具有某種屬性，而且沒有遇到相反的情況，從而推出這一類事物的全部對象都具有某種屬性的歸納推理。枚舉歸納推理的結論是或然的，它的可靠程度是和事例數量相關的。

實例：枚舉幾種氨基酸的結構式，通過觀察比較相同點，學生歸納出氨基酸的結構通式：一個中央碳原子上連接著一個氨基、一個羧基、一個氫和一個R基團。此過程遵循了由簡單事實到一般規律的數學歸納思想，學生在學習過程中由感性認識上升到理性思維，并通過簡單的模型建構，幫助學生理解和記憶核心概念。

2.概率歸納推理

概率歸納推理是以思維對象中的部分對象出現的概率為前提，提出思維對象的全部對象都具有這個概率的結論的推理歸納。高中生物學中的遺傳學和生態學，以及實驗數據處理中有較多的應用。

實例：孟德爾豌豆7對相對性狀的雜交實驗和測交實驗的子代表現型及比例進行歸納推理（如圖5）：（所以前為歸納，所以后為推理）

應用數理統計法處理遺傳實驗結果，是孟德爾在研究方法上的一大創造，概率歸納推理是“數理統計法處理遺傳實驗結果”的重要思維方式，由7對相對性狀的實驗結果到一般的拓展和總結，構成了孟德爾遺傳定律的重要基礎。

3.科學歸納推理

科學歸納推理不是考查對象數量優勢和經驗概括，而是以認識事物之間的因果聯系為前提，所以，只要能對事物的因果聯系作出正確的科學分析，即使數量不多，也能推出可靠的結論。

實例：自然界中的生物成千上萬，它們的遺傳物質分別是什么？科學家不可能把所有的生物進行科學實驗研究，所以我們需要從部分生物的實驗研究結論中，找出不同生物之間的差異和聯系，歸納推理出所有生物的遺傳物質分別是什么（如圖6）？（所以前為歸納，所以后為推理）

參考文獻：

[1]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學必修1[M].人民教育出版社，2007：2-9.

[2]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-3[M].人民教育出版社，2009：2-4.

[3]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2[M].人民教育出版社，2007：71.endprint