有機：讓數運算教學豐潤起來

張睿

摘 要：“有機”指事物構成的各部分之間互相關聯，具有不可分割的統一性。小學階段數運算的知識結構和數運算形式之間存在著多種內在聯系、隨意的割斷、片面的追求，程序化的操作都會導致數運算育人價值的狹窄化。將數運算之間的多種內在聯系“有機”地融合與滲透，讓數運算教學豐潤起來，才能實現數學教學與學生生命成長的雙向建構。

關鍵詞：有機;整體化;結構化;品質化

小學階段的數運算體系是隨著數概念的逐步擴展而不斷建立和完善的。整個小學階段，數運算就內容而言，主要包括整數、小數、分數和正負數四種范圍的四則運算，它們之間存在著雷同的知識結構關系。另外，數運算就其運算形式而言，主要有口算、筆算、估算和簡便計算，它們之間具有有機融合、綜合滲透的內在聯系。正是因為上述數運算的知識結構和數運算形式之間存在著多種內在聯系，教學時如何“有機”結合起來，使學生學會有序地和結構性地思考，養成有條理的思維習慣，了解數學發現的一般方法，感受法則形成過程中的數學思考，建立判斷與選擇的自覺意識等成為筆者的研究重點。下面以蘇教版小學數學三年級下冊“三位數乘一位數的筆算”教學為例，談談前期的實踐與思考。

一、“知識”有機“融合”，感悟整體化

按教材編排，“三位數乘一位數的筆算”是第二課時內容，著重研究三位數乘一位數的基本方法。第三、四課時教學三位數的中間或末尾是0時的乘法計算。

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將三位數乘一位數的筆算的整體教學劃分成單個的知識點，用3課時進行教學。教材的這樣編排雖然遵循了從易到難，從一般到特殊的認知規律，但忽視了數學知識整體關系的構架，割裂了知識部分與整體之間的聯系——算法一致，表現形式略有不同，忽視數學知識各層次之間多維復雜的相互關系。這在一定程度上抑制了學生的自主探究的積極性，約束了學生發現創新的空間。

【重建】

課始直接告知今天繼續學習乘法，并出示9道不同類型的三位數乘一位數算式，請學生觀察它們有什么相同之處，從而引出本課課題：三位數乘一位數的乘法。然后引導學生根據三位數的特征對算式進行分類。學生發現三位數乘一位數可以根據0的情況分為有0的和無0的兩類，教師隨之調整卡片位置，并再次引導學生對有0的一類算式進行二次分類，最后總結出根據三位數中0的情況，可以把三位數乘一位數分為三類。

板書：

三位數乘一位數

一般的三位數乘一位數

中間有0的三位數乘一位數

末尾有0的三位數乘一位數

①152×3 ②104×2 ③120×8

④275×7 ⑤402×6 ⑥250×4

⑦398×5 ⑧301×9 ⑨600×7

【設想】

1.“點狀知識”到“塊狀知識”

針對上述“點狀知識”的現象，筆者嘗試對本單元的內容進行了“塊狀重組”。計算中間或末尾有0的三位數乘一位數，首先要掌握0的乘法，這對學生來說是一個新知識，因此筆者將0的口算教學從教材中乘數中間有0的筆算教學中抽離了出來，與整百數乘一位數的口算融為1課時，在第一段進行教學。一方面完善了三位數乘一位數口算教學，另一方面也為后續三位數乘一位數的筆算教學做了準備。第二段進行三位數乘一位數估算的教學，在估算教學中落實口算，并為學習三位數乘一位數的筆算教學做好銜接。第三段教學三位數乘一位數的筆算（包括乘數中間和末尾有0的筆算）。第四段教學連乘計算的實際問題。第五段單元復習。

2.“情境導入”到“整體進入”

目前教材中的數運算教學大多從“情境導入”，溝通數學與生活的聯系的同時引發學生的學習需求，幫助學生意義建構。但本課教學是基于學生已經掌握兩位數乘一位數口算和筆算的知識經驗基礎上的，程序化的“情境導入”不僅違背了數學對象的抽象特性，降低了學生理性思維的水平，也導致了在有限的課堂時間內教學過程的走場化。本課采用整體進入的方式：將三種類型的九道三位數乘一位數算式同時呈現給學生，再引導學生根據三位數的特征分類。這樣不僅將學生的關注點很快聚焦到三位數乘一位數的乘法學習上，更為學生搭建了一個適合整體感悟知識的背景框架，使學生對本單元內容在整個數運算框架體系中的位置有了整體了解，同時也對本單元需要學習的各種運算類型有了初步的感知。

二、“方法”有機“遷移”，教學結構化

小學階段的數運算學習內容是一個科學而嚴謹的系統，知識之間有著十分緊密的聯系，在橫向和縱向上都表現出規則的一致性和方法的可遷移性。

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學生學了一般的三位數乘一位數筆算方法后，再學習乘數中間有0和末尾有0的乘法時，仍會出現忽略個位向十位的進位，積中間都是0的情況，或者筆算幾百幾十乘一位數時，仍習慣于常規寫法，缺少自覺運用簡便寫法的意識。這些問題的產生與教學中“方法”的遷移、教學的結構化有很密切的聯系。

【重建】

在揭示了三位數乘一位數的三種類型后，可以分兩個層次進行教學。

第一層次：探究一般的三位數乘一位數的筆算方法。先引導學生對其中一題進行估測，確定積的范圍后，嘗試計算。集體交流時，教者將收集到的學生資源并排呈現在黑板上（分步口算和豎式計算），便于學生觀察比較兩種做法的相同與不同之處。明確它們的方法一致，形式不同，而豎式計算寫法相比更簡便。在學生掌握筆算的計算程序后，比較計算結果和估計結果是否一致。剩下的同類型的2題作為反饋練習，引導學生按照剛才的學習過程（先估再算，然后說計算過程，最后比較算與估的結果是否一致）進行嘗試。集體校對后，引導學生反思三道題在計算的過程中的相同之處，從而提煉出一般的三位數乘一位數的計算法則：數位對齊，從個位算起，用一位數依次乘三位數的每一位，哪一位滿幾十就向前一位進幾。

第二層次：探究有0的三位數乘一位數的筆算方法。引導學生運用剛才的學習過程，分別從兩個類型的題目中選一題進行探究，教師巡視并收集有代表性的學生資源。交流時，先呈現乘數中間有0積中間也有0的兩個學生資源，明確計算程序集體校對后，引導學生思考：0乘任何數都等于0，三位數中間有0，是不是積的中間一定有0呢？通過學生闡述和另一題的例證，得出乘數中間有0，積的中間不一定有0的結論。再呈現乘數末尾有0的個位對齊的學生資源，集體校對。引導學生思考：根據口算的方法，你能將豎式的書寫格式變得簡潔些嗎？學生再次動手嘗試，教者收集半成品資源，交流討論后明確簡便寫法的格式。拓展練習：如果末尾有2個0，3個0呢？

第三層次：對比溝通。今天研究的三位數乘一位數，都是怎么計算的？拓展：如果是四位數乘一位數，如何計算呢？五位數呢？總結：不管是幾位數乘一位數，都是用一位數依次去乘幾位數的每一位，滿幾十就向前一位進幾。

【設想】

1.方法結構，縱向“有機”遷移

縱觀小學階段的乘法運算教學，可以分為三次循環認識，即表內乘法的認識，用一位數乘的認識，用兩位數乘的認識。溝通這些看似割裂、點狀的知識之間的內在聯系，使前后不同數范圍的運算法則貫通起來，就能形成學習數運算的方法結構。

三位數乘一位數的筆算教學是建立在兩位數乘一位數的基本認知結構上的，是對兩位數乘一位數基本算理、算法的首次遷移。只是隨著數范圍的不斷擴大，需要在一個個新范圍內進行拓展和組織。一旦學生掌握了三位數乘一位數的計算方法，就可以不斷地遷移到更多數位乘一位數的學習中。每一次的遷移都是對此前結構的完善，知識結構就在不斷趨于完善的過程中由薄到厚，方法結構也逐漸衍生。

2.過程結構，橫向“有機”遷移

數運算之間具有可類比的內在關聯性，相應的學習方法也具有相似性。這種關聯性與相似性體現在同一類型的乘法運算中，如，教師呈現的一般的三位數乘一位數的算式有三道，教師引導學生經歷了其中一題的探究過程，學生就可以運用特殊到一般的方法自主遷移到另外兩題。這種關聯性和相似性也體現在不同類型的三位數乘法運算中，如：第一層次一般的三位數乘一位數的教學給了學生一個學習探究的結構，在第二層次有0的三位數乘一位數的探究活動中，學生就可以自覺地運用這樣的結構，甚至還可以用這樣的過程結構進行其他類型的數運算學習。通過這樣的結構學習，不僅可以使學生對結構相關的知識牢固掌握，熟練運用并加以內化，更為重要的是通過結構學習，可以使學生的思維真正地主動投入，形成學生主動學習的心態與能力。

三、“思想”有機“滲透”，思維品質化

數運算教學對學生成長和發展的價值，不僅是對算法知識的掌握，更重要的是讓學生體會到所學知識背后蘊含的思想，使學生學會創造性地運用知識，幫助學生形成數學的思維方式和人生態度。

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以往數運算教學關注最多的是學生計算能力的培養，教學中關注的主要是學生算理的掌握，算法的多樣，追求的是計算的正確率和速度，但其實這只是數運算教學育人價值中的一部分。

【設想】

1.滲透“分類”思想，發展思維條理性

分類是基本邏輯方法之一，是依據數學研究對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象分為不同種類的數學思想。

在數運算教學中，分類思想的應用可以解決“串聯”的知識，即從一個基本的問題引申出來的各種各樣的題目。如乘法中一位數的乘法中涉及一位數乘一位數，一位數乘兩位數，一位數乘三位數等知識。也可以解決“并聯”的知識，即這些知識從某個角度看分屬于不同知識，但換個標準它們卻屬于同一個知識體系。如，一位數的乘法與兩位數的乘法。通過分類，有助于學生更好地掌握知識并形成良好的知識結構，同時也培養了學生觀察、比較、概括的能力，發展了學生思維的條理性。

2.滲透“化歸”思想，發展思維的靈活性

化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。

在本課及以往的數運算學習中，學生不僅掌握了運算知識，在參與探索算法的過程中還體驗了把新運算轉化為舊運算的化歸思想。在這些體驗中，學生思維的靈活性也得到了不同程度的發展。如，遇到三位數乘一位數的新問題時，能及時修正思考路線，探索出解決問題的有效途徑，想到將兩位數乘一位數的計算方法遷移過來。又如，在鞏固練習中選擇合適的方法計算三位數乘一位數的積，對于899×7這類接近整百數的三位數乘一位數，學生能很快想到轉換成整百數乘一位數的乘加或乘減來計算等。這都是思維靈活性的表現。

讓數運算教學豐潤起來，不僅僅局限于知識、方法、思想等在課堂教學中“有機”融合。以上思考在數運算教學中的運用，還需不斷地實踐與探索，補充與完善。

參考文獻：

[1]王林.小學數學課程標準研究與實踐[M].江蘇教育出版社，2011.

[2]周志華.小學數學教學整體綜合設計的實踐探索[M].江蘇人民出版社，2012.

編輯 謝尾合