函數(shù)中參數(shù)取值范圍的求法

摘 要：在求解不等式恒成立問題中，在不等式中反解出參數(shù)的表達(dá)式，利用

大于函數(shù)的最大值，則大于它的所有值；小于函數(shù)的最小值，則小于它的所有值想法。利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍。

關(guān)鍵詞：函數(shù)的值域；單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)；不等式；分離參數(shù)；等價(jià)轉(zhuǎn)化

近幾年的高考數(shù)學(xué)題中，對(duì)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的考察側(cè)重于理解和應(yīng)用，試題有一定的綜合性，并與數(shù)學(xué)思想方法緊密結(jié)合，對(duì)分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等進(jìn)行了深入的考察。

導(dǎo)數(shù)的主要應(yīng)用之一是利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，以及求參數(shù)的取值范圍。在高考數(shù)學(xué)21題壓軸題中，通常需要區(qū)分參數(shù)的不同情況進(jìn)行討論，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系就可以解決問題，但往往解題時(shí)分類較多，解法很繁，若能反解出參變數(shù)a，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍，則過程簡(jiǎn)便很多。

結(jié)論若x∈A時(shí)，f（x）>a（或f（x）≥a）恒成立，則af（x）max（或a≥f（x）max）。

例1 若函數(shù)f（x）=x2+ax+1x在（12，+

SymboleB@ ）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：∵f′（x）=2x+a-1x2≥0在（12，+

SymboleB@ ）上恒成立

即a≥1x2-2x在（12，+

SymboleB@ ）上恒成立

又y=1x2-2x在（12，+

SymboleB@ ）上單調(diào)遞減

∴y<1122-2×12=3

∴a≥3

例2 已知函數(shù)f（x）=3x3-ax2+x-5在[1，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解法一 由題意得

f′（x）=9x2-2ax+1≥0在x∈[1，2]上恒成立，

即a≤12（9x+1x）在x∈[1，2]上恒成立。

設(shè)h（x）=9x+1x，又h′（x）=9-1x2，

當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，h′（x）>0，

∴h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，

∴h（x）min=9+1=10，欲使a≤12（9x+1x）在x∈[1，2]上恒成立，

需a≤12（9x+1x）min，即a≤5。

解法二 由題意得

f′（x）=9x2-2ax+1≥0在x∈[1，2]上恒成立，

∴f′（x）min≥0，x∈[1，2]。

當(dāng)a9≤1，即a≤9時(shí)，f′（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，

∴f′（x）min=10-2a。由a≤9

10-2a≥0得a≤5；

當(dāng)1

f′（x）min=f（a9）=1-a29。由9

1-a29≥0得a∈；

當(dāng)a9≥2，即a≥18時(shí)，f′（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，

∴f′（x）min=f′（2）=37-4a。由a≥18

37-4a≥0得a∈。

綜上得a的范圍是a≤5。

解法三 由題意得f′（x）=9x2-2ax+1。

當(dāng)Δ≤0時(shí)，即4a2-36≤0，得-3≤a≤3，

f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增；

當(dāng)Δ>0時(shí)，由f′（x）≥0得x≥a+a2-99或x≤a-a2-99，由題意得

a+a2-99≥2

a>3或a<-3或a+a2-99≤1

a>3或a<-3，解得a<-3或3

綜上得a的范圍是a≤5。

由上面例題可知，運(yùn)用分類討論的方法去求參數(shù)的取值范圍，分類種數(shù)較多，過程較繁，解題很容易出錯(cuò)。若反解出參數(shù)a，再利用函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)最值，進(jìn)而求出參數(shù)取值范圍，則可使解題過程簡(jiǎn)潔實(shí)用。

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作者簡(jiǎn)介：

王葆青，甘肅省蘭州市，甘肅省蘭州市第四中學(xué)。