一元二次方程根的分布問題的新解法

馮玉娟++牛鵬羽

摘 要：一元二次方程根的分布問題是中學數(shù)學中的一類重要問題，其常規(guī)解法的具體情形較多且計算復(fù)雜，常常使學生望而生畏。鑒于此，本文提出了一種新的觀點，通過兩道例題給出了一元二次方程根的分布問題的新解法，供大家參考。

關(guān)鍵詞：一元二次方程；根的分布；新解法；導(dǎo)數(shù)

如果方程x2-ax+2=0在（0，3）內(nèi)有且只有一個實數(shù)根，則a的取值范圍是 。

解：由x2-ax+2=0得x2=ax-2。

令f（x）=x2，g（x）=ax-2。顯然，f（x）=x2經(jīng)過點A（3，9），g（x）=ax-2經(jīng)過定點B（0，-2）。

（1） 連接AB，則kAB=9-（-2）3-0=113。

由圖1知當a≥113時，函數(shù)f（x）=x2與g（x）=ax-2的圖象有且只有一個橫坐標在（0，3）內(nèi)的交點。

所以當a≥113時，方程x2-ax+2=0在（0，3）內(nèi)有且只有一個實數(shù)根。

（2） 當f（x）=x2的圖象與g（x）=ax-2表示的直線相切時，記切點為T。

由f′（x）=（x2）′=2x=a得xT=a2，所以yT=a24。

由a×a2-2=a24得a2=8。顯然a>0，所以a=22。

由圖1知當a=22時，函數(shù)f（x）=x2與g（x）=ax-2的圖象有且只有一個橫坐標在（0，3）內(nèi)的交點。

所以當a=22時，方程x2-ax+2=0在（0，3）內(nèi)有且只有一個實數(shù)根。

綜上，a的取值范圍是a≥113或a=22。

拓展：由圖1可以看出，當22

例2 a為何值時，在開區(qū)間（1，3）內(nèi)，關(guān)于x的方程x2-5x+a+3=0存在實根？

解：由x2-5x+a+3=0得x2=5x-（a+3）。

令f（x）=x2，g（x）=5x-（a+3）。顯然，f（x）=x2經(jīng)過點A（3，9），B（1，1）。

若g（x）=5x-（a+3）經(jīng)過點A（3，9），則對應(yīng)的直線為y-9=5（x-3）。

令x=0得y=-6。所以yC=-6。

若g（x）=5x-（a+3）經(jīng)過點B（1，1），則對應(yīng)的直線為y-1=5（x-1）。

令x=0得y=-4。所以yD=-4。

當f（x）=x2的圖象與g（x）=5x-（a+3）表示的直線相切時，記切點為Q。由f′（x）=（x2）′=2x=5得xQ=52，所以yQ=254。

此時g（x）=5x-（a+3）對應(yīng)的直線為y-254=5x-52。

令x=0得y=-254。所以yE=-254。

因為方程x2-5x+a+3=0在（1，3）內(nèi)有實根，所以函數(shù)f（x）=x2與g（x）=5x-（a+3）的圖象至少有一個橫坐標在（1，3）內(nèi)的交點。

由-254≤-（a+3）<-4解得1

所以，a的取值范圍是1，134。

拓展：由圖2可以看出，當-（a+3）=-254或-6≤-（a+3）<-4即a=134或1134時，方程x2-5x+a+3=0在（1，3）內(nèi)沒有實數(shù)根。

縱覽上述兩道例題，皆以一種相對的觀點為主導(dǎo)思想，即當涉及二次函數(shù)和一次函數(shù)時，將相對復(fù)雜或相對高級的二次函數(shù)定下來，讓一次函數(shù)變，而一次函數(shù)對應(yīng)的直線又有定的元素，或為縱截距定（例1），或為斜率定（例2），然后結(jié)合圖象，既順利地解決了問題，又從本質(zhì)上認清了數(shù)學問題。事實上，這種相對的觀點不僅可以很好地解決一元二次方程根的分布問題，還可以有效地解決一般的零點存在性問題，讀者不妨一試！

參考文獻：

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[2] 徐彥輝.教師如何應(yīng)對課堂中突發(fā)的錯誤[J].數(shù)學通訊，2009（5）（下半月）.

[3] 楊先義.問題176[J].數(shù)學通訊，2009（5）（下半月）.

作者簡介：馮玉娟，甘肅省嘉峪關(guān)市，甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學；

牛鵬羽，甘肅省嘉峪關(guān)市，甘肅省嘉峪關(guān)市第二中學。