巧妙利用隱含條件解題例析

賴健祥

[摘 要]巧妙利用隱含條件解題，不僅能提高解題效率，而且能提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué)；隱含條件；解題

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）32-0020-02

不少初中數(shù)學(xué)題題設(shè)條件都隱含在題目中.如果學(xué)生不注重分析，就無法找到求解問題的關(guān)鍵.要實(shí)現(xiàn)對隱含條件的巧妙應(yīng)用，學(xué)生除了應(yīng)具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)功底，熟練掌握有關(guān)的概念、公式和性質(zhì)外，還要具備一定的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維，能夠靈活運(yùn)用各種圖形工具和分析方法.

一、概念、公式中隱含條件的分析與應(yīng)用

多數(shù)初中數(shù)學(xué)題目都含有或多或少的概念、公式類隱含條件，學(xué)生只有掌握對應(yīng)部分的知識(shí)內(nèi)容，才能找到正確的解題方法.

[例1]分式（x2-4）/（x2+x-2）=0，求解x.

這道題目中隱含條件是分母不為零.如果學(xué)生忽視這一條件，直接令x2-4=0，則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果[x=±2].正確的解法應(yīng)在x2-4=0且x2+x-2≠0的條件下，求解x的值.因此最終結(jié)果為單一解x=2.

[例2]已知點(diǎn)M（x，y）滿足坐標(biāo)方程log1+xy+log1-xy=log1+xy-log1-xy，求解點(diǎn)M的軌跡方程.

首先給出一個(gè)錯(cuò)誤解法：根據(jù)坐標(biāo)方程得到logy（1-x）+logy（1+x）=1，得到y(tǒng)=-x2+1.由此得出點(diǎn)M軌跡方程是以（0，1）為頂點(diǎn)，以y軸為對稱軸且開口方向向下的拋物線.得出這一錯(cuò)解的原因就是學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)定義的隱含條件，即（1）y>0；（2）1+x>0且1+x≠0；（3）1-x>0且1-x≠0.于是在解題過程中忽略了一個(gè)正確的解y=1.因此，正確的解題過程應(yīng)在得出y=-x2+1后，繼續(xù)分析其符合題意的部分，確定其軌跡為y=-x2+1和y=1，且x∈（-1，0）∪（0，1）.

從上述兩道例題中可以看出，概念公式隱含條件普遍存在，且容易被忽略，需要學(xué)生在解題過程中有更多的耐心和細(xì)心，根據(jù)題目已知條件完成計(jì)算后，再用隱含條件進(jìn)行檢驗(yàn)，剔除不符合條件的解.

二、性質(zhì)、定理隱含條件的分析與應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)中，許多性質(zhì)定理和判定定理也經(jīng)常被作為隱含條件出現(xiàn)在題目中，由于一些性質(zhì)、定理較為相似，僅在個(gè)別使用條件下存在差異，學(xué)生即使意識(shí)到隱含條件的存在，也容易因相關(guān)性質(zhì)、定理不夠熟悉，而得出錯(cuò)誤的解.

[例3]過點(diǎn)A（2，0）的直線與曲線y=x2相交于兩點(diǎn)P和Q，求解PQ中心點(diǎn)M的軌跡方程.

在求解此類問題時(shí)，學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為過點(diǎn)A的直線斜率k一定存在，將其設(shè)為y=k（x-2），代入后得到x2+kx+2k=0.然后設(shè)點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)分為別（x1，y1）和（x2，y2），PQ中心點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），并有x=（x1+x2）/2=k/2，由此得出k=2x.由于點(diǎn)M在直線y=k（x-2）上，于是得出y=2x2-4x即為點(diǎn)M的軌跡方程.在此過程中忽略了一個(gè)重要的判定定理，即直線與曲線存在兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，[Δ]=k2-8k>0.根據(jù)這一判定定理可得出k<0或k>8.在根據(jù)上述求解得到的k=2x，可以得出x<0或x>4.因此，正確的解是y=2x2-4x，x∈（-∞，0）∪（4，+∞）.

由此可以看出，在解題過程中，學(xué)生如果忽略了性質(zhì)、定理，會(huì)導(dǎo)致求解過程中的條件判斷失誤，進(jìn)而導(dǎo)致最終求解結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)將各類性質(zhì)和判定定理了然于心，根據(jù)題目條件進(jìn)行靈活運(yùn)用.

三、題設(shè)制約隱含條件的分析與應(yīng)用

題設(shè)制約隱含條件是指在題目所給條件中，如果A條件成立，則B條件也必須成立；或A條件成立則B條件必須不成立的情況.其中A條件為題目已知條件，而B條件則為需要學(xué)生自己分析出來的隱含條件.如果學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)隱含的B條件，則會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)多解或漏解的情況.

[例4]已知sinα=[5]/5，sinβ=[10]/10，且α和β均為銳角，求解α+β.

在這道題目中，部分學(xué)生的錯(cuò)誤解法如下：根據(jù)題目已知條件sinα=[5]/5和α為銳角，得出cosα=[1-sin2α]=2[5]/5.再根據(jù)題目已知條件sin β=[10]/10和β為銳角，得出cos β=[1-sin2β]=3[10]/10.由此得出sin（α+β）=（[5]/5）·（3[10]/10）+（2[5]/5）·（[10]/10）=[2]/2.由于α和β均為銳角，因此0<α+β<π，最終得到α+β=π/4或α+β=3π/4.

在上述解法中，sinα=[5]/5<[2]/2，而且α是銳角，因此，0<α<π/4.同理，sinβ=[10]/10<[2]/2，而且β是銳角，因此，0<β<π/4，所以實(shí)際上α+β的取值范圍是0<α+β<π/2，這就是被學(xué)生忽略的“B條件”.這道題最終的結(jié)果只有一個(gè)，即α+β=π/4.

四、幾何圖形隱含條件的分析與應(yīng)用

幾何圖形隱含條件也是一種常見形式.初中數(shù)學(xué)題目的抽象程度較高，需要學(xué)生掌握圖形分析方法.許多隱含在幾何圖形中的隱含條件，學(xué)生只依靠題目分析難以發(fā)現(xiàn)，需要畫出具體圖形，通過作輔助線等方式才能找到.

[例5]等腰三角形ABC周長為8 cm，腰長為x cm，底邊為y cm，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，確定其函數(shù)圖像.

在求解這道題目時(shí)，根據(jù)題目已知條件，學(xué)生可以較為容易地列出關(guān)系式2x+y=8，進(jìn)而通過變化得出y=-2x+8.由此得出的函數(shù)是斜率為-2，與y軸相交于8的直線AB.但實(shí)際上還要考慮兩個(gè)重要的性質(zhì)定理，即三角形任意鄰邊之和大于第三邊，且三角形邊長為正值.因此，x的取值范圍為2

利用幾何圖形特征進(jìn)行求解是初中數(shù)學(xué)的一種重要解題方法，此法不僅可以降低題目求解難度，還可以引起學(xué)生對隱含條件的注意，從而通過對比幾何圖形進(jìn)行檢驗(yàn)和檢算，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤問題，得出正確解法.

通過對上述幾種題目隱含條件分析和應(yīng)用方法的研究，我們可以看出，隱含條件在初中數(shù)學(xué)問題中普遍存在，而且很容易導(dǎo)致學(xué)生做題時(shí)出現(xiàn)問題.對題目的隱含條件進(jìn)行靈活運(yùn)用，則可以快速求解出正確答案.因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)和練習(xí)過程中，學(xué)生必須加強(qiáng)對不同隱含條件出現(xiàn)形式的重視，在扎實(shí)掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，采用正確的分析方法進(jìn)行求解.

通過對隱含條件具體出現(xiàn)形式、常見的錯(cuò)誤解法以及正確的分析和應(yīng)用方法進(jìn)行介紹，可以幫助學(xué)生更好地掌握隱含條件的利用方法，從而提高解題效率和準(zhǔn)確率.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 任捷.試論初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中隱含條件的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2017（14）：190-191.

[2] 范玉蓮.數(shù)學(xué)題中隱含條件的挖掘和應(yīng)用[J].晉中師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2003（3）：86-87.

[3] 包素華.數(shù)學(xué)分析解題中隱含條件的應(yīng)用[J].衡水師專學(xué)報(bào)，1999（4）：74-77.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）