高中數(shù)學(xué)競賽不等式應(yīng)用研究

摘要：不等式作為高中的一部分內(nèi)容，解法靈活多變，從中可以體現(xiàn)出多種數(shù)學(xué)思想方法，本文便是從高中數(shù)學(xué)競賽不等式解法入手，研究從中可以體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法都有哪些。

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)；競賽

一、 不等式與多變量函數(shù)極值問題

所謂多變量函數(shù)，即是一個(gè)函數(shù)中有多個(gè)變量。而不等式與多變量函數(shù)極值問題是在變量或變動因素較多時(shí)求取函數(shù)的最值。這些變量同時(shí)變化，相互制約又彼此獨(dú)立，相互干擾間常常讓同學(xué)們無從著手，漫無頭緒。其實(shí)，就是如此多的變量擾亂了我們的思路，不知該如何是好。所以，我們可以讓大多數(shù)變量固定，只讓少數(shù)變量運(yùn)動，以此來搞清楚各變量之間的數(shù)量關(guān)系和制約依賴關(guān)系，然后讓剛剛固定的變量“活”起來，卻固定住剛才動著的變量，最終達(dá)到解決此類問題的目的。這種方法有個(gè)統(tǒng)一的名字，叫控制變量法。

1. 構(gòu)造二次函數(shù)法

如果有一個(gè)多變量不等式是二次函數(shù)，而且還是齊次的，那么我們就可以構(gòu)造出一個(gè)只關(guān)于其中一個(gè)變量的二次函數(shù)，然后再利用二次函數(shù)的單調(diào)性求其最值或者利用二次函數(shù)的圖像來分析問題，從而使問題得到解決。其實(shí)質(zhì)是將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題求解。

例設(shè)a，b，c為任意三角形的三個(gè)內(nèi)角，對于任意實(shí)數(shù)L，M，N，求證：

L2+M2+N2≥2LMcosa+2MNcosb+2NLcosC

分析：根據(jù)題意，首先將特征式整理成關(guān)于L的二次函數(shù)形式，再利用二次函數(shù)及其方程的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理證明。

證明：將M，N看成常數(shù)，構(gòu)造關(guān)于L的函數(shù)

因?yàn)長，M，N∈R

f（L）=L2-2（Mcosa+NcosC）L-2MNcosb+M2+N2

Δ=4（Mcosa+NcosC）2-4（M2+N2-2MNcosb）

=4M2（cosa2-1）+8MN（cosccosa+cosb）+4N2（cosc2-1）

=4M（sina-Nsinc）2≤0

又因?yàn)楹瘮?shù)f（L）圖像開口向上，所以f（L）≥0，故：

L2+M2+N2≥2LMcosa+2MNcosb+2NLcosc

2. 調(diào)整法

所謂調(diào)整法，就是由最值存在為依據(jù)，首先從與問題實(shí)質(zhì)有聯(lián)系的較寬要求開始，把條件特殊化，再引入?yún)⒘?，使條件一般化，也是一種從特殊到一般的方法。要注意的是，要使用調(diào)整法做題，題中的可能情形只有有限多種。

例設(shè)a，b，c∈（0，1）滿足

1-abc+

1-bca+

1-cab=2，求abc的最大值。

分析：由題意知，此題的最大值一定存在，所以可以用調(diào)整法來解決。由于是求乘積的最大值，我們可以將三個(gè)變元調(diào)整到全都相等的時(shí)候，再運(yùn)用反證法，使問題得到解決。

證明：當(dāng)a=b=c=34時(shí)，abc=2764，下面證明abc不能比2764再大了。

若不然，由條件式得

a（1-a）+b（1-b）+c（1-c）=2abc>343

將不等式兩邊同時(shí)平方有：

（a（1-a）·1+b（1-b）·1+c（1-c）·1）2>916×3

由柯西不等式有：

（a（1-a）·1+b（1-b）·1+c（1-c）·1）2

<[（a（1-a））2+（b（1-b））2+（c（1-c））2]×3

所以3[a（1-a）+b（1-b）+c（1-c）]>916×3

a（1-a）+b（1-b）+c（1-c）>916

矛盾。綜上所述，abc的最大值是2764。

二、 含參不等式的恒成立問題

含參不等式問題即是要確定當(dāng)不等式恒成立時(shí)參數(shù)所需要滿足的充分條件、必要條件，或者是參數(shù)的取值范圍及參數(shù)的最值等問題。這類題型是近些年來國內(nèi)、國際數(shù)學(xué)競賽中的新興題型，難度較大且解題思路靈活多變，技巧性較強(qiáng)。本章，筆者根據(jù)大量此類例題，總結(jié)了8種解決此類問題遵循的方法。包括：最值法、判別式法、靈活確定主元法、數(shù)形結(jié)合法、正難則反、構(gòu)造輔助函數(shù)法、集合觀點(diǎn)轉(zhuǎn)化策略以及分類討論的方法。下面就讓我們依次來了解一下這九種方法。

1. 最值法

若f（x）是以x為變量的函數(shù)表達(dá)式，g（a）是以a為變量的函數(shù)表達(dá)式。求對任意x都成立的a的取值范圍，則：

若有f（x）>g（a）恒成立，則有g(shù)（a）

若有f（x）f（x）max

例已知函數(shù)g（x）=（x+1）lnx-x+1如果xg′（x）≤x2+mx=1，求m的取值范圍。

分析：因?yàn)橐髆的取值范圍，而m又混雜在給出的已知條件中，所以首先要分離參數(shù)，然后自然就想到如果能求出不等號另一邊表達(dá)式的最值，那么m的范圍就迎刃而解了，所以再用最值法計(jì)算。

解：因?yàn)間′（x）=x+1x+lnx-1=lnx+1x（x>0）

所以xg′（x）=xlnx+1

由xg′（x）≤x2+mx+1得m≥lnx-1，

令f（x）=lnx-x，

則，問題就轉(zhuǎn)化成了求函數(shù)f（x）的最大值的問題。

因?yàn)閒′（x）=1x-1

當(dāng)00；當(dāng)x>1時(shí)，f′（x）<0。

所以，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）存在最大值。

f（x）的最大值為f（1）=-1

所以m≥-1。

2. 構(gòu)造輔助函數(shù)法

對于一些復(fù)雜的高次不等式，可以利用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，從全新的角度以全新的觀點(diǎn)觀察和分析對象，使問題中隱蔽的關(guān)系與條件顯現(xiàn)出來，將復(fù)雜的高次不等式變化成簡潔明了的形式，從而簡化解題思路。

例解不等式8（a+1）3+10a+1-a3-5a>0

分析：如果這道題直接將左邊通分用解高次不等式的思維來運(yùn)算會相當(dāng)麻煩。但注意到

8（a+1）3+10a+1=2a+13+52a+1，因此我們可以用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法嘗試解決。

解：將原不等式化為2a+13+52a+1>a3+5a，令g（a）=a3+5a，則不等式變?yōu)間2a+1>g（a）。因?yàn)間（a）=a3+5a在R上為增函數(shù)，所以原不等式等價(jià)于

2a+1>a，解得：-1

3. 判別式法

（1）如果f（x）>0有，對于x∈R恒成立→a>0Δ<0

（2）如果有f（x）<0，對于x∈R恒成立→a<0Δ>0

例已知關(guān)于x的不等式（a2+4a-5）x2-4（a-1）x+3>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：（1）當(dāng)a2+4a-5=0時(shí)，即a=1或a=-5，則易知當(dāng)a=1時(shí)，符合題意。

a=-5不符合條件，舍去。

（2）當(dāng)a2+4a-5≠0時(shí)，由二次函數(shù)對一切實(shí)數(shù)恒為正數(shù)的充要條件，得

a2+4a-5>0

Δ=16（a-1）2-12（a2+4a-5）<0，解得1

綜上所述有，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，19）。

本論文重點(diǎn)研究總結(jié)了不等式應(yīng)用的兩個(gè)方面：多變量函數(shù)求極值問題以及含參不等式恒成立問題，體現(xiàn)了構(gòu)造輔助函數(shù)，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，可使同學(xué)們今后遇到類似題型能夠有方向可循。

作者簡介：周瑩，吉林省白城市，白城一中。