基于徑向基響應面優化斷路器溫控研究

李洪+徐麗麗+李勁

摘要： 在研究斷路器溫度變化過程中，控制其溫度變化是一項極為重要的工作。由于試驗分析溫度變化過程時會受到各種因素的影響的干擾，因此需要利用試驗設計篩選出關鍵影響因子進行重點改進。文章在結合一次對斷路器溫變過程的全面調查所獲得的實際數據的基礎之上，首先利用均勻設計與正交設計在試驗次數相近時，均勻性更好的、更具代表性的特點進行試驗分析；然后通過響應面法（Response Surface Methodology——RSM）構建斷路器溫度變化的回歸模型，并且利用殘差進行插值擬合，最終構建基于徑向基函數的響應面模型。并且期望改進后的模型更能有效的避免傳統響應面優化方法的缺點。

Abstract： The temperature change of control circuit breaker is very important work in the process of studying circuit breaker temperature change. Because the test analysis of temperature change process are influenced by various factors， we need to use design of experiment method to screen out the key influence factors to improve. This paper used uniform design has better uniformity and the characteristics of more representative to experiment when uniform design and orthogonal design in similar experiments based on the actual data of a complete investigation of the circuit breaker temperature change. Then it applied response surface methodology to build a regression model about circuit breaker temperature change and used the residual to interpolation fit， finding out the response surface model based on the radial basis function. And the improved model can effectively avoid the shortcoming of traditional response surface optimization method.

關鍵詞： 優化設計；徑向基函數；響應面法；插值擬合

Key words： optimize design；radial basis function；response surface methodology；interpolation fit

中圖分類號：TP301 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）02-0118-04

0 引言

隨著制造業的發展和技術的提高，人們對于斷路器成品質量的要求越來越高，而在斷路器的制造過程中如何控制影響溫變因素，這個問題越來越引起人們關注。

響應面法能夠在最優區域內通過二次多項式擬合一個響應曲面代替未知的真實曲面，如：張亞南等[1]利用響應面優化法進行復配穩定劑的優化，以此改善了乳清雪菊酒的不穩定性；程軍圣等[2]為了改善聽小骨消聲器的消聲性能，利用響應面法夠造二次多項式響應面模型，并且驗證了其方法的有效性。但是響應面法并未對殘差進行處理，并且其核心之一就是輸入變量試驗點選取的隨機性，而采用均勻設計篩選試驗點后所構建的響應面便可以使結果更加精確，并且均勻設計更加適用于多水平試驗，也多有應用，如：周敏等[3]將均勻設計用在汽車前輪罩板成形參數設計中，明顯節省了工藝制造的時間，提高了工藝設計的工作效率；李子軒等[4]利用均勻試驗設計的方法研究多水平工藝參數對C型鋼成形質量的影響，結果表明合理的試驗設計方案所得到的工藝參數有效的改善了冷彎產品的質量。而徑向基函數對于任意維的離散觀察點的處理較為簡單，并且徑向基函數具有良好的擬合性和較高的精確值，同時利用插值擬合處理殘差，并建立基于徑向基函數的響應面模型能夠更好的表達真實曲面的模擬信息，如：潘雷等[5]采用徑向基函數方法對多項式響應面法的殘差進行處理，有效地提高了多項式響應面的近似精度。縱觀均勻設計、響應面優化和徑向基函數等的發展與應用，越來越多的學者將各種方法有機的結合在一起，以此來改善傳統單一的使用一種方法來研究某個領域的相關問題，因此將徑向基函數與響應面優化和均勻設計相結合是一種不錯的選擇。并且針對這一領域的研究已有不少，如秦玉靈等[6]在對機翼進行有限元分析時，首先利用均勻設計分析其結構參數，然后在建立基于高斯徑向基函數的響應面模型，并且利用最小二乘得出系數；馬偉標等[7]在研究優化履帶車輛懸掛系統的參數時，利用徑向基函數構建了其主要參數與平順性評價指標之間的響應面模型，并且利用退火優化算法對參數進行優化，證明了其方法的可行性；安治國等[8]在討論板料成形時，首先通過超拉丁立方的抽樣設計，然后建立基于徑向基函數的響應面模型，分析了板料在沖壓成形過程中的可靠性，證實了徑向基響應面模型的有效性；郁勝等[9]在對大跨度斜拉橋進行分析時，構建了基于徑向基函數的響應面分析模型，并且利用遺傳算法進行修正。雖然利用均勻設計、響應面法建立回歸模型并結合徑向基函數解決多水平、非線性問題的研究已有不少，但遺憾的是在控制斷路器的制造過程中分析其溫度變化的應用還很少。endprint

本文通過Design-Expert和MATLAB工具，首先對試驗數據進行分析，再利用響應面方法構建控制斷路器溫變回歸模型，最后對殘差進行插值擬合并構建基于徑向基函數的響應面優化模型。

1 基于均勻設計RBF-RSM的溫控工藝原理

1.1 響應面法

響應面法（Response Surface Methodology—RSM）最早是由Box和Wilson提出的，并且早于田口玄一提出的三次設計法。它是數學和統計學結合的產物，其目的是優化響應變量和響應之間的潛在規律。

響應面法在優化設計時，則是通過合理的試驗設計方法解決如何建立目標、約束和設計變量之間的近似函數。目前構造響應面的方法主要有多項式、指數和對數函數擬合，以及神經網絡等。雖然構造的響應面的方法有很多，但是根據魏爾斯特拉斯定理，許多類型的函數都可以用多項式去逼近，多項式近似模型可以處理相當廣泛的非線性問題，因此，在優化時，不論設計變量和目標函數的關系如何，總可以采用多項式近似模型進行分析。

而在優化設計中，響應變量和自變量之間的關系形式是未知的，因此，通常在自變量的某個范圍內（穩定區域）構建近似模型。在實際應用中則是利用恰當的試驗點，在確定穩定區域后，通過擬合一階或二階響應面回歸模型，通過模型分析結果，找到最佳的參數組合，如一階模型的表達式如下：

Y=？茁0+■？茁iXi+？著（1）

二階模型表達式：

Y=？茁0+■？茁iXi+■？茁iiX■■+■？茁ijX■iXj■+？著（2）

其中：Y代表響應值； ？茁0代表常數項；？茁i代表線性系數；？茁ii代表二次項系數；？茁ij代表交互作用項系數；？著代表誤差項；Xi和Xj代表各因素。

幾乎所有的響應面問題都可以用以上兩個模型中的一個或者兩個解決。而未知系數可通過已觀測到的試驗數據（x11，x21，…xn1，y1），…，（x1k，x2k，…，xnk，yk）用最小二乘法來估計，即擬合值與樣本值在各點的殘差的平方和最小來確定響應系數，然后在擬合曲面上做響應面分析。系數估計以一階為例：

■=[■0，■1，…，■n]T=（XTX）-1XTY

=[■■y■■…■]T（3）

式中

X=■，Y= y1y2■yk

于是可得到一階響應面模型為

■=■0+■■ixi（4）

1.2 均勻試驗設計

從早期的單因素試驗設計發展至今，人們對于試驗設計的運用已經相當成熟。在響應面優化方法中通常都會使用試驗設計，如正交設計、中心復合設計、拉丁方等，但是對于多因素、多水平問題，這些方法總存在缺陷，而均勻設計在安排較少試驗次數的同時也使得試驗數據更適合建立模型，在合理均勻排列試驗點的同時也可以保證響應面模型的精確度。

1.3 徑向基函數

徑向基函數（Radial Basis Function——RBF）是由Hardy提出的某種沿徑向對稱的標量函數，通常定義為n維空間中任一點到x某一中心xi之間距離的單調函數[9]，可記為

H（■ x-xi ■）

其中， ■ x-xi ■為x到xi之間的Euclidean距離。

對？坌f∈R，如果給定與xi相對應的函數值fj，其基于徑向基函數H的近似表達式（插值函數）為

f（x）=■cjHj （ ■ x-xj ■）（5）

其中cj為常系數。為確定系數cj，現將函數f在點xi上坐標和函數值fi分別代入上式左右兩側，有

fj（x）=■cjHj（■ xi-xj ■）（6）

將i取遍1到N的所有值，可得到下面的矩陣方程：

XC=F（7）

其中C={c1，c2，…，cN}T，F={f1，f2，…，fN}T，X為N×N階矩陣，其中元素xij為

xij=Hj ■ xi-xj ■（8）

則可得C=X-1F。

顯然，如果矩陣X可逆，則系數C存在。而矩陣X可逆的充分條件之一是基函數H ■ x-xj ■為正定函數即可。

1.4 徑向基函數響應面模型

傳統的多項式響應面法雖然在構造和計算上相對簡單，能夠以擬合的響應面曲面代替真實的曲面，但是其精度有限，并且不能隨著樣本量的增大而提高其近似精度；而徑向基函數和響應面優化擁有著共同的優點——構造和計算簡單，其缺點則是不能夠較好的提供插值曲面的近似連續擬合曲面。

并且響應面法由于不能對其結果中的殘差進行處理而導致不能夠隨樣本容量的增大而有效地提高精度，從而使得在進行曲面分析時，丟失許多信息。

在RSM分析時，設生成的近似曲面為F1，試驗點和擬合點間的差值為殘差R。首先利用RBF對R進行處理，提取R中的信息加入到近似結果中去，這樣可以有效地避免RBF和RSM的缺點，徑向基響應面法的計算流程如下：

①對原始試驗點生產RSM近似曲面并設生成的近似曲面為F1；

②計算殘差R；

③利用殘差R計算RBF插值函數F2；

④將F1和F2進行疊加，作為最終的插值結果G。

G=F1（X）+F2（X）=a0+■aixi+■cjH■ x-xj ■（9）

其中xi為向量X的第i個分量，xj為第j個向量，未知系數a和c可以根據已知的m組試驗數據和殘差R按照RSM和RBF公式計算得到。其具體流程如圖1所示。

2 基于均勻設計RBF-RSM優化溫控工藝模型

本節將應用均勻設計理論，對影響溫度變化的各項因素進行分析。本文的數據源于浙江H公司QC小組對于分析斷路器時溫度變化的一次全面的調查，采集了在試驗分析過程中影響溫度變化的3項指標，它們分別是熔焊面積、鍍銀厚度和電阻值。endprint

2.1 均勻設計試驗方案

均勻設計利用合理的因素水平、恰當的安排試驗，如此能更好的分析出各因素對溫升變化的影響。通過3因素4水平共16個試驗點進行分析，均勻設計因素水平表如表1所示。試驗序號來自均勻設計表U*16（1612）及其使用表。

2.2 均勻設計試驗結果

按照3因素4水平的試驗設計方案安排試驗，得到結果如表2所示，溫度為響應值。

2.3 徑向基響應面模型建立

將溫升變化作為響應變量，熔焊面積（X1）、鍍銀厚度（X2）和電阻值（X3）作為自變量，根據均勻試驗設計結果建立不含交叉項的響應面模型。

Y1=？茁0+■？茁iXi+■？茁iiX■■（10）

其中：Y1代表響應值；？茁0代表常數項；？茁i代表一次項系數；Xi代表各因素。

根據表2的結果利用MATLAB工具擬合，得到其響應面模型的方程：

Y1=-321.36+13.79X1+10.66X2+290.27X3-0.48X■■+0.12X■■-91.13X■■

殘差就是真實值與擬合值之間的差值，即為

ei=yi-■i

其中yi為真實觀測值，■i為擬合值。

二次響應面回歸方程中各試驗點的真實值與擬合值之間的差值如表3所示。

由于徑向基函數H ■ x-xj ■可以是任意形式的低階多項式，因此文章選取■ x-xj ■ C作為徑向基函數，其中，0

Y2=0.15 ■ x-57.5 ■（11）

因此，得到基于徑向基函數的響應面模型為

Y=-321.36+13.79X1+10.66X2+290.27X3-0.48X■■+0.12X■■-91.13X■■+0.15■ x-57.5 ■（12）

改進后的徑向基響應面模型是利用殘差進行插值擬合后在進行疊加而形成的，通過模型可以直觀的看到，改進后的模型比原模型更優，因為原模型丟失了殘差信息，而改進后的模型有效的利用了殘差值。

3 結束語

文章以溫度變化值作為響應變量，以熔焊面積、鍍銀厚度和電阻值作為參數，利用均勻設計進行試驗，通過建立響應面優化模型，并且利用傳統響應面優化模型沒有對殘差進行處理的缺陷進行改進，通過利用殘差進行徑向基函數的插值擬合，最終構建了基于徑向基函數的響應面優化模型。但本文的不足之處在于，數據數量的限制無法進行細致的分析，以及由于試驗條件的限制不能進行大量的試驗；同時，文章只是選擇了不含交叉項的響應面優化模型，也可以選擇全模型等，不同的選擇構建的模型是不一樣的，并且文章并未對徑向基響應面模型進行優化，這將是以后研究的目標，因此沒有進行更加具體和細致的分析，但對于斷路器的溫升變化判斷應具有較好的作用。

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