空間向量在立體幾何中的應用

山東省濟寧一中高三（4）班 車 暢

高中數學二期課改新教材引入了直線的方向向量及平面的法向量，這一引進對解決空間問題提供了一個很方便、很實用的工具。向量學習的目的之一是“重點培養學生使用向量代數方法解決立體幾何問題的能力”，將幾何題中的邏輯推理轉化為向量的代數運算，溝通代數與幾何之間的聯系，使問題解決顯得模式化、程序化，減少輔助線的添加，降低解題難度。

下面就如何求空間的角、空間的距離、證明平行與垂直這些問題進行詳細的論述。

一、證明線面平行或垂直

證明線面平行，可轉化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明線面垂直，可轉化為證明直線的方向向量與平面的法向量平行，從而得出結論，達到解決問題的目的。

例1 已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，E、F、G分別是BC、CD和CC1的中心，求證：（1）AD1∥平面EFG。（2）A1C⊥平面EFG。

圖1

證明：以D為坐標原點，建立如圖1所示的空間直角坐標系D—xyz，則有：D（0，0，0），A（2，0，0），Al（2，0，2），Dl（0，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，2，0），F（0，1，0），G（0，2，1）。

令x=1，則

二、用空間向量求角

求平面向量的法向量：設平面α的法向量為n=（x，y，z），利用n與平面內的兩個不共線向量a，b垂直，其數量積為零，從而列出兩個三元一次方程組，聯立后取其一解，即為平面α的一個法向量。

1.求異面直線所成角

設a，b分別為異面直線l1與l2的方向向量，則l1與l2所成角θ的余弦值為：

因為異面直線所成角不大于90°，所以其余弦值取非負值。

2.求直線和平面所成角

圖2

如圖2，設平面α的法向量為n=（x，y，z），向量a是直線l的方向向量，則向量a與向量n所成角的余弦值為

又直線l與平面α所成角為向量a與法向量n所成角的余角，故其值為

3.求二面角

（1）如圖3，若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個面內與l垂直的異面直線，則二面角α-l-β的平面角為所求角的余弦函數值為：

圖3

（2）如圖4，若n1，n2分別為二面角α-l-β的兩個半面的法向量，則角＜n1，n2＞或其補角為二面角的平面角，且

圖4

確定方法：

從二面角內看，當法向量n1，n2的方向在二面角內，一個指向平面，另一個背離平面時，向量n1，n2的夾角即為二面角的平面角；當兩個法向量或都指向平面或都背離平面時，二面角為向量n1，n2的夾角的補角。

三、用空間向量求距離

1.點到平面的距離

求點A到平面α的距離，可在平面內任取一點B（如圖5）。設n為平面α的法向量，則向量在向量n方向上的投影的絕對值即為點A到平面α的距離：

圖5

2.直線到平面的距離

如圖6，已知直線l與平面α平行，在直線l上任取一點A，求此點到平面的距離可在平面內任取一點B，設n為平面α的法向量，則向量在向量n方向上的投影的絕對值即為點A到平面α的距離：

圖6

3.兩平行平面間的距離

四、利用空間向量證明平行和垂直

對于空間的直線、平面間的平行與垂直的證明問題，需要建立空間直角坐標系，確定出直線的方向向量、平面的法向量，利用向量間的關系來判斷空間的直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直問題。

1.直線與直線的平行和垂直

設直線a，b的方向向量分別為a，b，則證明兩直線平行的充要條件是它們的方向向量共線，即：

兩條直線垂直的充要條件是它們的方向向量互相垂直，即

2.直線和平面的平行和垂直

設直線l的方向向量為l，平面α的法向量為n，則直線與平面平行的充要條件是直線的方向向量和平面的法向量垂直，即：

直線與平面垂直的充要條件是直線l的方向向量l和平面的法向量共線，即：

3.平面與平面的平行與垂直

設平面α與平面β的法向量分別為a和b，則平面α與平面β平行的充要條件是兩個平面的法向量共線，即：平面α與平面β垂直的充要條件是兩個平面的法向量垂直，即

如圖7，已知空間四邊形ABCD中，AB=AD=CD=BD=2，且點A在平面BCD內的射影恰好落在BC上。（1）求二面角A-BD-C的度數；（2）求異面直線AB與CD所成的角。

解：（1）設點A在平面BCD內的射影為E，BD的中點為F。

所以EF為線段BD的中垂線。

又因為在△BDC中，

圖7

所以∠BDC=90°，即DC⊥BD。

又因為點E在BC上，所以E為BC的中點。

以D為原點，DB，DC所在的直線分別為x、y軸，過D且垂直于平面BDC的直線為z軸，建立空間直角坐標系（如圖8），則：D（0，0，0）、B（2，0，0），C（0，2，0）。

圖8

設BC的中點為E，BD的中點為F，連接AE、EF。

因為在Rt△ABE中，故所以點所以

設平面ABD的法向量為n=（x，y，z），

又平面BCD的法向量為m=（0，0，1），

所以二面角A-BD-C的度數為60°。

所以異面直線AB與CD所成的角為

從上例可以看出，引入空間向量后，避開了復雜的邏輯推理過程，通過建立空間直角坐標系使幾何問題代數化，大大降低了空間思維量，降低了問題的難度。