探究方法 尋求規(guī)律 發(fā)掘背景
——記一道解析幾何題的講評(píng)

江蘇省常熟中學(xué) 朱 震

在一次復(fù)習(xí)解析幾何的單元測(cè)試中有一道題目，學(xué)生的答題情況不盡人意。在講評(píng)課上，筆者帶領(lǐng)學(xué)生共同探討了其解答方法。

一、原題呈現(xiàn)

思路一：C隨A動(dòng)，D隨B動(dòng)，所以CD的斜率必與AB有關(guān)。因此可以考慮用A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)表示C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而用k來(lái)表示CD的斜率k1。

解：直線AM方程為：與橢圓方程聯(lián)立消去y整理得該方程的兩個(gè)根為

這是大多數(shù)解出此題的學(xué)生使用的方法。想法自然，處理得當(dāng)。

二、探究方法

筆者在批閱時(shí)還發(fā)現(xiàn)了如下思路，在課上與同學(xué)們探究。

思路二：類(lèi)比拋物線問(wèn)題，用弦的端點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示弦所在直線方程。

∴直線AB方程為：

∵AB過(guò)F（1,0）

學(xué)生做到這里卡住了，放棄了用這一思路進(jìn)行下去。筆者鼓勵(lì)全體學(xué)生一起思考，看看能不能幫她一起走出來(lái)。

學(xué)生集思廣益，很快得到了一個(gè)可行的方案：消元！

整理得：

由①②得 ，由①③得 。

筆者：H同學(xué)嘗試將研究拋物線的常用方法遷移到橢圓中，做法很好。雖然這樣的遷移不一定簡(jiǎn)單，甚至不一定有效，但這是我們研究問(wèn)題的常用策略。下面請(qǐng)同學(xué)們一起看一下使用這一思路得到的結(jié)果，我們能發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生：點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)C都關(guān)于x軸對(duì)稱，所以CD應(yīng)該也經(jīng)過(guò)F點(diǎn)，題目所給的圖畫(huà)錯(cuò)了。

筆者：對(duì)的！如果圖畫(huà)對(duì)了（如圖），大家就容易猜到答案了。除了看到圖畫(huà)錯(cuò)了，我們還能發(fā)現(xiàn)什么呢？

學(xué)生：①②③式的形式一樣，都是對(duì)稱式。但是①式是通過(guò)AB經(jīng)過(guò)F點(diǎn)得到的，②③式是通過(guò)直線經(jīng)過(guò)M點(diǎn)得到的，居然會(huì)有相同的結(jié)果。

筆者：然后呢？是不是只要通過(guò)x軸上一定點(diǎn)，就會(huì)有這樣的結(jié)果？還是這兩點(diǎn)必須滿足某種關(guān)系，才會(huì)有相同的結(jié)果？

學(xué)生：必須滿足某種關(guān)系！根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)，我猜是：橫坐標(biāo)之積為2。

筆者：那好，我們一起來(lái)驗(yàn)證一下你的這個(gè)猜想。

三、尋求規(guī)律

為了得到對(duì)稱式，學(xué)生很快給出了如下解答：

設(shè)存在常數(shù)λ，使得對(duì)任意滿足條件的k，恒為常數(shù)，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為方程的根。

筆者：猜想正確！如果在解題之前我們就知道這一結(jié)論，就可以直接聯(lián)立橢圓和直線方程，用韋達(dá)定理湊得兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。下面我們?cè)僖黄饋?lái)看看能不能得到更有價(jià)值的結(jié)論。

這樣，原題中兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系就明確了！

筆者：那么兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間有何關(guān)系呢？

記E點(diǎn)對(duì)應(yīng)的m為，則：

接著，筆者找出如下習(xí)題，供學(xué)生練習(xí)。

通過(guò)上述探究過(guò)程，我們得到一個(gè)一般性規(guī)律，即：若經(jīng)過(guò)x軸上一定點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則有：

①A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間滿足：

②A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間滿足：其中，

而得到上述規(guī)律的常用方法，就是韋達(dá)定理結(jié)合待定系數(shù)法。今后我們?cè)谟龅筋?lèi)似條件時(shí)，就可以有的放矢。

四、發(fā)掘背景

筆者感到上述結(jié)論是優(yōu)美的，似乎存在著某種必然的聯(lián)系。課后，筆者繼續(xù)深挖，在圓中挖掘本題的背景。

如圖，點(diǎn)E是半徑為R的圓O內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)T在射線OE上，滿足過(guò)E的直線交圓O于A、B兩點(diǎn)，TA、TB分別交圓O于點(diǎn)C、D。求證AD⊥OE，BC⊥OE。

同理，∠OBE=∠OTB。

另外，由BC⊥OE且AD⊥OE可得AD∥BC，

如圖，取ET中點(diǎn)I，由調(diào)和點(diǎn)列相關(guān)性質(zhì)得

橢圓可以由圓經(jīng)過(guò)伸壓變換得到，而伸壓變換保持同一直線上各線段比例關(guān)系不變，將上述圓進(jìn)行縱向伸壓得到橢圓之后，水平直徑所在直線上各線段比例關(guān)系不變。

五、反思總結(jié)

波利亞指出：“教師最重要的任務(wù)之一是幫助他的學(xué)生。這個(gè)任務(wù)并不容易，它需要時(shí)間、實(shí)踐、奉獻(xiàn)和正確的原則。學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的獨(dú)立工作經(jīng)驗(yàn)。但是，如果把問(wèn)題留給他一人而不給他任何幫助，或者幫助不足，那么他可能根本得不到提高。而如果教師的幫助太多，就沒(méi)有什么工作留給學(xué)生了。”數(shù)學(xué)教師幾乎每天都要批改作業(yè)，常常會(huì)在學(xué)生的作業(yè)中看到不同的解法，有些學(xué)生能夠順利解出答案，有些學(xué)生會(huì)卡在某一步。我們不能僅滿足于判斷學(xué)生作業(yè)的對(duì)錯(cuò)，更應(yīng)花時(shí)間幫助卡住的同學(xué)走出來(lái)，這個(gè)任務(wù)也不容易，也需要時(shí)間、實(shí)踐、奉獻(xiàn)和正確的原則。對(duì)于使用特殊方法而不成功的學(xué)生，應(yīng)給予個(gè)別輔導(dǎo)，指出學(xué)生錯(cuò)誤之處，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，幫助學(xué)生規(guī)避彎路。對(duì)于有價(jià)值的方法，可帶領(lǐng)全班同學(xué)共同探究，進(jìn)行推廣，做到舉一反三，多題一解。

教師常比學(xué)生有更敏銳的洞察力，比學(xué)生有更多的時(shí)間進(jìn)行鉆研，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)某一規(guī)律時(shí)，常可尋其背景，這是下一步命題的源泉。筆者根據(jù)上述背景進(jìn)一步研究，命制了一系列新的習(xí)題，在蘇州市高中數(shù)學(xué)命題研究會(huì)議上，作了題為《推陳出新之心路歷程》的報(bào)告，獲得了一致好評(píng)。