數列中一類存在性問題的通解探秘

魯琛

關于數學解題訓練的模式觀，本人認為：多一點方法，少一點隨意；多一點套路，少一點隨性；多一點模式，少一點隨緣。《刻意練習：如何從新手到大師》中言道：“你如果無差別重復一萬小時，也不會變成高手，只有刻意訓練，才能帶來精進”。江蘇高考數列壓軸題，難度較大，表現形式多樣，注重對數學思維，方法和能力的考查。數列與不定方程的整數解問題近來成為高考及模考命題的一個熱點，這類問題對學生的思維能力和探究能力有較高的要求，帶有很大的區分度，本文筆者結合幾次模考例題分享筆者的實踐與思考。

試題呈現

例1：（2018屆鹽城市高三期中第19題）已知數列{an}滿足a1=-1，a2=1，且an=2+（-1）n2an（n∈N*）

（1） 求a5+a6的值；

（2） 設Sn是數列{an}的前n項和，求Sn；

（3） 設bn=a2n-1+a2n，是否存在正整數i，j，k（i

解：（1）（2）略

（3）由（1），得bn=a2n-1+a2n=（32）n-1-（12）n-1≥0（僅b1=0且{bn}遞增）.

∵k>j，且k，j∈Z，k≥j+1.

①當k≥j+2，bk≥bj+2，若bi，bj，bk成等差數列，則：

bi=2bj-bk≤2bj-bj+2=2[（32）j-1-（12）j-1]- [（32）j+1-（12）j+1]

=-14×（32）j-1-74×（12）j-1<0

此與bn≥0矛盾，故此時不存在這樣的等差數列.

當時k=j+1時，若bi，bj，bk成等差數列，則：

bi=2bj-bk=2bj-bj+1=2[（32）j-1-（12）j-1]-[（32）j-（12）j]

=12×（32）j-1-32×（12）j-1

又∵i

若i≤j-2，則bi≤bj-2，得12×（32）j-1-32×（12）j-1≤（32）j-3-（12）j-3

得（32）j-3+5×（12）j-3≤0，矛盾，∴i=j-1.

從而有2bj= bi-1+bj+1，得2×[（32）j-1-（12）j-1]=[（32）j-2-（12）j-2]+[（32）j-（12）j]

化簡，得3j-2=1，解得j=2.

從而，滿足條件i，j，k的只有唯一一組解，即i=1，j=2，k=3.

第三小問學生普遍反應難：方程中含有3個變量，具有很多不確定性，找不到切入點；化簡過繁找不到突破口，無從下手，只能選擇放棄；甚至我們老師在評講也覺得難以下手，答案能看得懂卻想不到。類似的問題在考試中也曾遇到，困擾學生，成為學生解題中的難點。

感悟反思（1）這類問題都有無數個不存在即2bj≠bi+bk，一般來說若數列{bi}單調遞增，則2bj≤bk就有無數組，若數列{bi}單調遞減，則2bj≤bi就有無數組；

（2）若利用兩個不相等的正整數之間相差1不能解決，則可以將兩個正整數的差合理擴大，直至成立，一般來說大于等于2就行，直至等式不成立，從而使得成立的可能性只有有限個，再一一找出；

（3）若兩個正整數相差1就可以解決問題，列出等式，根據范圍合理求解就行。

筆者認為這類問題很多，基本上大同小異，此方法學生可以通過刻意訓練，習得自然。

問題再現

例2：已知數列{an}的各項均為正數，且對任意n∈N+有k2an+2≥an，m3an+3≥an，其中k，m為常數.

（1）若k=3，m=2，且數列{an}是公比為q的等比數列，求q的取值范圍

（2）若k=m=p（p∈N+，p≥2）

①求證：數列{an}為等比數列；

②設bn=nan，求所有p的值，使得數列{bn}中存在不同的三項成等差數列.

解②：由①可得an=a1（1p）n-1，bn=nan=na1（1p）n-1，

∴bn+1-bn=（n+1）a1（1p）n-na1（1p）n-1=a1（1p）n-1（1-p）n+1p.

當p=2時，存在b2=a1，b3=34a1， b4=12a1成等差數列，

當p≥3時，（1-p）n+1<0， ∴{bn}單調遞減.

不妨假設存在正整數r

則2bs=br+bt，∵r

∵{bn}單調遞減，2bs-br≤2br+1-br，

∵2br+1-br=a1（1p）r-1（2-p）r+2p，當p≥4時，（2-p）r+2≤0，

∴2bs≤br，又∵bt>0，∴2bs≤br+bt，∴p≥4時不存在.

當p=3時，只有r=1時，2bs>br，由2bs=br+bt得

2s3s-1=1+t3t-1，∴2s3s-1>1，∴s=2，t=3，

綜上：p=2或p=3.

在平時的教學中，較之數學基礎知識，數學思想有更高的層次和地位。數學方法是數學思想的體現，具有模式化和操作性的特性，在數學課堂教學中采用這樣一種“模式化”的教學方式，不僅體現了《課標》的要求，也是體現教師對試題的研讀。盡量挖掘問題最本質、基本的方法，消除學生對數學問題的恐懼，增強學生的興趣和自信。

【參考文獻】

[1]孫小龍.看似崎嶇最尋常 成如艱辛卻容易——數列中一類不定方程通解探秘.中學教研（數學）.2015：40-43.

（作者單位：江蘇省溧水高級中學）