解讀實數

徐向清

實數的初來乍到，讓同學們不免感覺有點陌生，為了幫助同學們理清有關實數的概念，現整理了大家學習時應注意的幾個問題.

一、注意理解實數的概念

由于實際問題的需要，我們引進了“無理數”，即無限不循環小數.無理數應滿足3個條件：①是小數；②是無限小數；③是不循環小數.

有理數和無理數統稱為實數，即實數這個大家庭里有有理數和無理數兩大成員.有理數和無理數是兩類完全不同的數.一個實數如果是有理數，那么它一定不是無理數，反之，如果一個數是無理數，那么它一定不是有理數.

由此，有理數包括有限小數和無限循環小數，而無理數則是無限不循環小數.另外，所有的有理數都能寫成分數的形式（整數可以看成分母為1的分數），而無理數則不能寫成分數的形式.

二、注意無理數的幾種常見表現形式

無理數一般有下列幾種常見的表現形式：

第一類：“π”型，如2π、3π-1、[π2]；第二類：“根號”型，如[2]、-[33]；第三類：“小數”型，如0.1201210012120001212…、

-3.36377377737777….

此外，以后我們還會接觸另一類無理數，即銳角三角函數型.

三、注意實數的分類

實數的分類可從兩個角度去思考，即：①按定義來分類；②按正、負數來分類.具體如下表：

[實數][實數]

由此可見，0在實數里也扮演著重要角色.我們通常把正實數和0合稱為非負數，把負實數和0合稱為非正數.

四、注意實數與數軸的關系

實數與數軸上的點是一一對應的，就是說所有的實數都可以用數軸上的點來表示；反之，數軸上的每一個點都表示一個實數.數軸上的任一點表示的數，如果不是有理數，那就是無理數.

在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩側，并且兩點到原點的距離相等.實數a的絕對值在數軸上表示就是這個數對應的點到原點的距離.

利用數軸可以比較任意兩個負實數的大小，即在數軸上表示的兩個負實數，絕對值大的反而小.

另外，任何兩個實數之間有無窮多個有理數和無窮多個無理數.

五、注意實數的有關性質

實數和有理數一樣也有許多重要的性質.具體地講可從以下幾方面去思考：

1.相反數.

實數a的相反數是-a，0的相反數是0，具體地，若a與b互為相反數，則a+b=0；反之，若a+b=0，則a與b互為相反數.

2.絕對值.

一個正實數的絕對值是它本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0.實數a的絕對值可以表示為：[a]=[a（a≥0），-a（a<0）.]即實數a的絕對值一定是一個非負數，即[a]≥0，并且若[x]=a（a≥0），則x=±a.

3.倒數.

乘積為1的兩個實數互為倒數，即若a與b互為倒數，則ab=1；反之，若ab=1，則a與b互為倒數.這里應特別注意：0沒有倒數.

4.實數大小的比較.

任意兩個實數都可以比較大小，正實數都大于0，負實數都小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數中絕對值大的反而小.利用數軸也可以比較兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的點所表示的數總比左邊的點表示的數大.

5.實數的運算.

實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方.

在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用.

（作者單位：江蘇省揚州市江都區教育局教研室）