以問題為載體，生成解題策略

馬園園

案例背景：

一元一次方程復(fù)習課是蘇科版數(shù)學教材七年級上冊第四單元的章節(jié)復(fù)習課，教學目標一是經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應(yīng)用”的基本過程，二是獲得一些研究問題的方法和經(jīng)驗，發(fā)展思維能力，加深理解相關(guān)的數(shù)學知識，三是通過獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷，增強應(yīng)用數(shù)學的自信心。教學重點和難點是運用一元一次方程解決實際問題。一元一次方程是學生在初中階段學習的第一個方程模型，用一元一次方程解決銷售問題和行程問題是很多學生感到困難的地方，其根本原因是學生在分析數(shù)量之間的相等關(guān)系時存在困難。本節(jié)復(fù)習課的教學意圖是通過總結(jié)分析數(shù)量關(guān)系的常見策略，是學生解決應(yīng)用題的“套路”。掌握這些策略對今后用一元二次方程、分式方程等解決實際問題非常有利。

案例描述：

數(shù)學活動1：（1）問題：甲、乙兩人同時騎車從A地去B地，甲的速度是10km/h，乙的速度是12km/h，結(jié)果乙比甲早到15min，求A、B兩地之間的距離。請用方程描述問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系.小亮根據(jù)“乙比甲早到15min”這句話，判斷本題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是：

乙用的時間-甲用的時間=15min.

你覺得他的做法對嗎？

（2）問題：一件商品降價10%后比原銷售價便宜了20元，求這件商品現(xiàn)在的銷售價是多少？請用方程描述問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系。

解：設(shè)這件商品現(xiàn)在的銷售價是x元，

根據(jù)題意，得x+20=（1+10%）x

你覺得他的做法對嗎？

這兩道題源自學生在平時作業(yè)中的兩個典型錯誤，通過對錯誤進行辨析，再次讓學生經(jīng)歷分析數(shù)量關(guān)系的全過程，從而學會通過抓住題目中的“關(guān)鍵句”建立數(shù)量之間的相等關(guān)系，并且用加（減）或乘（除）的式子即等式表達出數(shù)量關(guān)系，然后將其中的“數(shù)量”用代數(shù)式表示，進而列出方程。這種方法是用方程解決實際問題的常用套路。

數(shù)學活動2：（1）某商店以每盞20元的價格采購了一批節(jié)能燈，并以每盞25元的價格售完，扣除50元的人工費用后，共獲利150元，問該商店共購進了多少盞節(jié)能燈？

（2）某商店以每盞20元的價格采購了一批節(jié)能燈，運輸過程中損壞了2盞，然后以每盞25元的價格售完，共獲利150元，問該商店共購進了多少盞節(jié)能燈？

兩道題的問題情境相同，只是部分條件發(fā)生改變，（2）比（1）難度增加，燈的數(shù)量發(fā)生變化，給學生分析數(shù)量關(guān)系帶來難度，于是我讓學生先完成填表，借助表格幫助學生理清題意，學生感受到表格是分析數(shù)量關(guān)系的有效策略之一。

數(shù)學活動3：某鐵路橋長1000m，現(xiàn)有一列火車以20m/s的速度勻速從橋上通過，測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了1min，求火車的長度。

學生在本章的學習中已經(jīng)知道線段示意圖是分析行程問題中數(shù)量關(guān)系的主要策略，但是往往畫不出正確的線段示意圖，為此在學生獨自思考本題兩分鐘后開始小組合作討論，互相交流得到線段示意圖。另外在題意的理解上，請學生解釋“完全過橋”的含義。活動2和活動3充分讓學生感受分析數(shù)量關(guān)系的兩個有效策略：列表格和畫線段示意圖，這些也是用方程解決實際問題的常用套路。

案例反思：

1.復(fù)習課的教學內(nèi)容應(yīng)基于實際學情，側(cè)重解惑

本章教材的設(shè)計思路是從實際問題到方程、解方程、用方程解決實際問題。一節(jié)課不可能復(fù)習完所有的內(nèi)容，所以我決定挑學生感到最困難的一項進行復(fù)習——用方程解決實際問題，即重點研究如何從數(shù)學外部到數(shù)學內(nèi)部。建模對于很多學生來說是有難度的，難就難在怎樣找到數(shù)量關(guān)系。本節(jié)復(fù)習課以方法和策略立意，設(shè)計的主線是“用方程正確表示出數(shù)量關(guān)系、用代數(shù)式正確表示出相關(guān)的量”。

2.設(shè)計題組，在“變”與“不變”中感受數(shù)學問題的本質(zhì)

在某個例題的教學中，對相關(guān)條件進行改編，將問題由簡單至復(fù)雜、由特殊推廣至一般，兼顧各層次的學生，讓每個學生得到不同的發(fā)展。在活動2中，將“扣除50元的人工費用”改為“損壞了2盞”，其余條件不變，將銷售數(shù)量由常量變?yōu)樽兞浚黾恿藛栴}的難度，從而引發(fā)學生的重新思考。一題多變，在層次遞進中感受變量之間的數(shù)量關(guān)系。

數(shù)學建模是數(shù)學的核心素養(yǎng)之一，應(yīng)用題教學是形成這一素養(yǎng)的重要渠道。列出方程的過程就是建模的過程，應(yīng)多次讓學生經(jīng)歷從數(shù)學外部到數(shù)學內(nèi)部的過程，在問題解決的過程中積累經(jīng)驗和方法，形成解決應(yīng)用題的“套路”，逐漸學會用數(shù)學的眼光看問題，用數(shù)學的思維想問題，用數(shù)學的語言描述問題，從而不斷提高數(shù)學素養(yǎng)。

編輯 魯翠紅endprint