割補法解立體幾何中的技巧

王東

【摘要】割補法是計算平面幾何圖形面積的推導方法，也是一種思考方法.在幾何圖形教學中，有著廣泛的應用.割補法是指：把一個圖形的某一部分割下來，填補在圖形的另一部分，在原來面積不變的情況下，使其轉化為已經掌握的舊的圖形，以利于計算公式的推導.

【關鍵詞】立體幾何；割補法；解決問題的能力

高中立體幾何中一些求體積、外接球半徑、內切球半徑、線線垂直、線面垂直、面面垂直的問題中，常涉及一些高、垂線的作法，但這些高或垂線由于受圖形的約束，直接作出有很大的難度，有時采用割補的方法，將所給圖形從自己熟悉的立體圖形中割裂出來或將所給圖形補全為自己熟悉的立體圖形，使問題的解決更加直觀和明了.下面舉幾例說明.

例1如圖1所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面AC1D1的距離為（）.

A.12

B.24

C.22

D.34

分析求點到面的距離通常是過點作面的垂線，而由于該圖的局限性不太好作垂線，考慮O為A1C1的中點，故將要求的距離與A1到面AC1D1的距離掛鉤，從而與棱錐知識掛鉤，所以可在該圖中割出一個三棱錐A1-AC1D1而進行解題.

解連接AC1和AD1，可得到三棱錐A1-AC1D1，我們把這個正方體的其他部分都割去就只剩下這個三棱錐，易知所求的距離正好為這個三棱錐的高的一半.這個三棱錐底面為直角邊為1與2的直角三角形.這個三棱錐又可視為三棱錐C1-AA1D1，后者高為1，底面為兩邊長均為1的等腰直角三角形，利用體積相等，立即可求得原三棱錐的高為22，故選B.

例2如圖3所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1，C1，B，D，求此多面體的體積.

分析在原來立方體（圖3）中，割去4個（圖4）直三棱錐，剩余部分便是所求幾何體，所以所求幾何體的體積為a3-4×13×12a2a=13a3.

例3如圖5所示，E，F分別是矩形ABCD的邊AB，CD的中點，G是EF上的一點，將△GAB，△GCD分別沿AB，CD翻折成△G1AB，△G2CD，并連接G1G2，使得平面G1AB⊥平面ABCD，G1G2∥AD，且G1G2

解觀察圖5和對照已知條件，依題：面ABCD，面ABG1，面EFG2G1，面面互相垂直，可得出圖6，通過對圖6補全，可知圖6是長方體ABCD-A1B1C1D1中的一部分，如圖7所示.在圖7中，∵G1G2∥AD，AD⊥面G1BA，G1G2面G1ADG2，∴結論成立.

例4已知曲線y=1-x2與x軸的交點為A，B，分別由A，B兩點向直線y=3x作垂線，垂足分別為C，D，沿直線y=3x將平面ACD折起，使平面ACD⊥平面BCD，求四面體ABCD的外接球的表面積.

分析由圖8得四面體ABCD如圖9所示，欲求其外接球的表面積，先要找出其外接球心所在的位置，將圖9補成如圖10所示的長方體，易知其外接球心是長方體對角線的中點，問題便可以解決.

解∵y=1-x2，∴x2+y2=1，x≤1，由圖8得A（-1，0），B（1，0），∴BD=|3×1-0|（3）2+1=32，同理，AC=32，CD=2OD=2×33BD=1，CB=CD2+BD2=72，AB=AC2+CB2=102，根據長方體外接球的性質知，其球心在AB上，且等于AB的一半，∴S=4πR2=52π.

割法是把復雜的或多余的幾何體割取，使剩余幾何體變為簡單、明了或成為我們熟悉的幾何體；補法是把抽象的或不熟悉的幾何體補成我們熟悉的幾何體，把不完整的圖形補成完整的圖形.一般的立體幾何中我們往往將“斜”幾何體補“正”，把“錐體”補成“方體”或將“正”幾何體割成“斜”體，將“方體”割成“錐體”，這樣逆向做題，使看似復雜問題引回到自己熟悉的立體圖形中來，降低問題的難度，使問題的解決更加簡單明了.