從一道教材例題的教學(xué)看核心素養(yǎng)培育

張?zhí)炱?/p>

數(shù)學(xué)與解題有著不解之緣.教師要善于把解題的學(xué)問提升到一般解題方法論的高度來認(rèn)識，然后再用以指導(dǎo)學(xué)生的練習(xí).在解題中引入興趣激發(fā)機(jī)制，誘發(fā)學(xué)生的最佳解題動機(jī).充分發(fā)揮他們的主動性和積極性，使他們既能提高解題能力，又能階段性地接受一般數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，自我增進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng).俗話說，“道高一尺，魔高一丈”.一般解題方法的教學(xué)正是攻克“題海戰(zhàn)術(shù)”的最有力的武器.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們自覺地遵循“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育”，有意識地引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)掘數(shù)學(xué)現(xiàn)象，主動觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，能獲得“理性精神”的熏陶，用好教材例題，充分發(fā)揮教材的作用.下面是對人教版數(shù)學(xué)選修4-4第28頁例題1的處理方法.

例1在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到直線x+2y-10=0的距離最小，并求出最小距離.

教師：各小組考慮考慮，橢圓上的點(diǎn)意味著什么？距離最小怎樣表達(dá)？

思考片刻，第3組學(xué)生甲站起來：將橢圓轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程；然后在橢圓上任取一點(diǎn)M（3cosθ，2sinθ），利用點(diǎn)到直線 x+2y-10=0的距離公式求得最小值是5；最大值是35；并且M位于95，85時(shí)取到最小值5，位于-95，-85時(shí)取到最大值35.

教師：還有其他的方法嗎？

第5組學(xué)生乙：不用參數(shù)方程，直接用普通方程也可以.

教師：你上來說，走到講臺上邊講邊寫出來：

解在橢圓x29+y24=1上任取一點(diǎn)M（x0，y0），用點(diǎn)到直線x+2y-10=0的距離公式得：

d=|x0+2y0-10|5.

又4x20+9y20=36y0=29-x203，代入上式得

d=|3x0+49-x20-30|35.

令：f（x0）=3x0+49-x20-30

f′（x0）=3+4-2x029-x20.

令：f′（x0）=0x0=±95y0=±85.

結(jié)合圖像知：M位于95，85時(shí)：最小距離是5；M位于-95，-85時(shí)：最大距離是35.

教師：比較一下兩種解法.

第一組學(xué)生：第一解法比第二解法簡便，但需要引參.可什么情況下引參我們很難把握；當(dāng)然橢圓有它的參數(shù)方程的特性；若是其他函數(shù)關(guān)系式（軌跡曲線）呢？乙的解法是一種通法.這道題我們小組認(rèn)為還可這樣做：平移直線法：

設(shè)與直線x+2y-10=0平行的直線為x+2y+b=0，并且該直線與橢圓相切.然后將直線x+2y+b=0x=-2y-b，代入橢圓方程得25y2+16by+4b2-36=0.

由Δ=（16b）2-4·25·（4b2-36）=0b=±5.

當(dāng)b=5時(shí)：兩平行線間的距離為5；

此時(shí)切點(diǎn)為：M95，85；

當(dāng)b=-5時(shí)：兩平行線間的距離為35；

此時(shí)切點(diǎn)為：M-95，-85.

教師：很好，這也是我們過去研究直線與圓錐曲線的關(guān)系的一種方法.

這時(shí)另一組學(xué)生組長站起來：說到切線，還可以從切點(diǎn)考慮：在培優(yōu)班上教師講過，圓錐曲線的求導(dǎo)要用到隱函數(shù)求導(dǎo)法則，把y看成是x的函數(shù)求導(dǎo).

教師：上來完成.

將直線x+2y-10=0平移與橢圓相切于M（x0，y0），則

由4x20+9y20=368x0+18y0·yx′=0.

又在點(diǎn)M（x0，y0）處：yx′=-12，所以y0=89x0，

然后將y0=89x0，代入4x20+9y20=36x0=±95和 y0=±85，

即：兩切點(diǎn)為：M95，85和M-95，-85.

最后用點(diǎn)到直線x+2y-10=0的距離公式求得：最小值5；最大值35.

教師總結(jié)：很好.我們通過教材的這道例題從本質(zhì)上探究合情推理、邏輯推理和一般解題方法之間的關(guān)系.每名同學(xué)都認(rèn)真思考，從不同的角度、不同的方法審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同的解答求得相同結(jié)果的思維過程，是提高我們思維能力的有效途徑.它能激起我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)去創(chuàng)造的求知欲；加深理解我們對所學(xué)知識的聯(lián)系，訓(xùn)練我們對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉我們思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性.這對同學(xué)們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高有著極其重要的意義.

教師的教學(xué)方法應(yīng)靈活多樣，教學(xué)過程是師生交流，共同發(fā)展的互動過程，要通過討論、研究、實(shí)驗(yàn)等多種教學(xué)組織形式，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地學(xué)習(xí)，并能獨(dú)立思考，自主探究，親身經(jīng)歷知識的形成過程.培養(yǎng)學(xué)生掌握和運(yùn)用知識的能力.教學(xué)中誘發(fā)一題多解，溝通新舊知識聯(lián)系，達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維，提高學(xué)生興趣，定能形成有效課堂，高效課堂.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育將是一個(gè)長期的科研課題.endprint