化歸思想在初中數學教學中的運用

尤春明

[摘? 要] 在數學教學過程中，由于數學知識內容繁多，涉及的知識領域也很廣泛，因此我們需要對相關的知識進行梳理，通過歸類讓學生更好地掌握同一類問題的解決方法. 這種方法叫作化歸，通過化歸思想，可以讓數學問題簡單化.

[關鍵詞] 初中數學;化歸思想;運用

在初中數學中常用的基本思想有：化歸思想、數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想，其中，化歸思想既是各種思想方法的基礎，又是各種思想方法的靈魂，堪稱解決問題的法寶. 它幾乎貫穿于全部中學數學內容，而且統領著眾多的數學方法. 所謂化歸，就是化簡歸納，把復雜化為簡單，未知化為已知，抽象化為具體，高維化為低維. 在數學教學中滲透化歸思想，有助于發展學生的思維能力和解決問題的能力，進而提升學生的數學素養.

復雜化簡單，逐個擊破

復雜的問題通常都是由一個個簡單的問題交織修飾而得來，許多難題都是經過簡單題目的多重變形得到的. 因此，在解決此類問題時應先仔細觀察推敲，找到基礎知識點，再判斷是如何變形，通過化歸思想抽絲剝繭，撥開迷霧，抓住問題的本質，化分成若干個簡單問題再逐個擊破，以求解或是得到求解的啟示，最終達到解決復雜問題的目的.

例如，有一道小立方塊相關的問題：一位美術老師在課堂上進行立體模型素描教學時，把14個棱長為1分米的正方體擺在課桌上，如圖1，然后他把露出的表面都涂上不同的顏色，請計算被他涂上顏色部分的面積.

看到問題，學生很有可能認為分別計算立方體每一層的露出面積，最后相加即可. 本小題只有三層且邊長都是整數、小數字，假若立方體堆四層、五層甚至若干層呢？假若邊長的數字不是1分米這樣簡單的數字呢？此時我們還用笨方法一個個算出露出的面積再去相加嗎？這種方法不僅費時費力，還不能保證正確率，稍有不慎，最后的答案就會算錯. 此時我們可以換一種思維方式，改變一下劃分露出面積的方式，看看會有什么變化. 于是，我們分別站在模型的正面，側面和上面觀察，將模型凹凸不平的露出部分化為簡單的由若干個小正方形拼湊成的平面圖形，再相加同樣能夠得到露出的面積！通過觀察，我們不難發現從正面、側面都有6個小正方形，從上方俯視可看到9個小正方形，所以，最后的面積可以通過正側面的6個小正方形以及上方看到的9個小正方形的面積相加之和，即6×4+9，求得為33平方分米.

觀察和分析是學生探索發現知識的重要手段. 教師要引導學生在觀察中發現規律，在觀察中將復雜問題簡單化，運用各種方法實現轉化，跳出思維的束縛，從而鍛煉數學思維，提升數學能力.

未知化已知，沖出迷霧

數學問題是一張大網，每一個結點就是一個小的數學問題，眾多數學問題都是可以直接或間接相互轉化的. 解決數學問題如果像魚在網中一樣，只知道不斷掙扎，拼命亂撞，這樣不僅游不出去，還會越纏越緊. 因此我們需要抓住問題與問題之間的聯系，將陌生未知的問題轉化為熟悉已知的問題，在簡單問題的基礎上，一步一步演算，然后運用已有的知識儲備或學習經驗加以解決，實現知識的嫁接，這是我們學習的基本策略.

例如，如圖2，在平行四邊形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F，AB ∶ BC=6 ∶ 5，平行四邊形ABCD的周長為110，面積為600. 求cos∠EDF的值.

分析可知，題目要求的cos∠EDF是無法直接得出的，因此可以考慮將其轉化為我們所熟悉的直角三角形中的角. 已知四邊形的內角和為360°，即∠EDF+∠EBF+∠DEB+∠DFB=360°，而∠DEB，∠DFB都是直角，所以∠EDF，∠EBF兩角相加為180°，即互補;同時，由平行四邊形的性質：鄰角互補可知，∠BAD、∠EBF兩角互補，所以∠EDF=∠BAD，這樣就巧妙地將問題的焦點轉移到了∠BAD上，同時這個角在直角三角形ADE中，要求其余弦值只需根據題目分別求出AE，AD的長度即可.

在這道題中，我們很好地運用了化未知為已知的解題方法. 因此，在以后的解題過程中，我們的思維不能受限，需要多重思考，看能否將未知問題化作已知的極易解決的問題，不遺漏每個細節，轉化為熟悉的面孔. 這樣從舊知識向新知識延伸，豐富了學習方法也增添了學習過程中的樂趣，更鍛煉了學生的邏輯思維能力.

正面化反面，逆流而上

一個命題的題設和結論是因果關系的辯證統一體，解題過程中，如果按照直觀的思維去解題往往會遇到麻煩，不能正常地完成解題. 這時，不妨從它的反面出發，逆流而上，也許另有捷徑.

例如，在兩個袋子中分別放有6張卡片，且每個袋子中的每張卡片分別標有1、2、3、4、5、6的不同數字，現在從兩個袋子中任意各抽出一張卡片，則兩張卡片上的數字之和不是7的概率是多少？

這道概率題想必讓不少同學頭疼過. 由于部分學生不知道怎么轉化，所以會使用笨方法，將所有兩個數之和的情況一一列舉出來，那么需要分別求出兩張卡片上的數字之和為2，3，4，5，6，8，9，10，11，12的概率然后相加，這樣就比較煩瑣，一不小心就會漏掉一種情況，導致滿盤皆輸. 而如果能反過來想，總的概率是“1”塊蛋糕，如果吃掉“兩張卡片上的數字之和為7”的那一份，剩下的不就是“數字之和不是7”的概率了嗎？出現數字之和為7 的情況有1+6，2+5，3+4，4+3，5+2，6+1共六種情況，而總共可能的情況有6×6=36種，所以所求概率為1-6/36=5/6. 這樣將所問的問題反過來想，會讓問題容易許多.

當正面解決問題有困難時，我們可以嘗試從反面入手，逆流而上. 這樣不僅能起到意想不到的作用，而且還能鍛煉學生的逆向思維能力.

不同化相同，找準方向

求“相同”、尋“不同”是非常重要的思想方法，化“不同”為“相同”同樣也很重要，在函數問題中應用較為廣泛，尤其是在函數的化簡和求值中體現得十分明顯.

當遇到這種題目時，我們不妨將一部分未知量當作一個整體，將其他未知量通過分析轉化成相同的那部分未知量，然后另設一個未知數. 這樣會比較直觀，而且在之后的求解過程中，也不會因為未知數過多而出現計算錯誤. 這種通過將不同轉化成相同的思想，在試題中經常出現，因此我們需要掌握好這一類問題的解決方法.

一般化特殊，撥開障礙

由“一般”向“特殊”的轉化是一種具有方法論意義的思維形式，是人類認識世界的普遍規律，在數學中有著十分廣泛的應用. 特別是在如選擇題這類不需要寫出具體解答過程、只需要填寫正確答案的題目中，運用一般與特殊之間轉化的思想會便捷許多. “一般”與“特殊”總是相對的，對于“一般”問題來說“特殊”問題的解決往往是比較容易的，可利用“特殊”問題中蘊含的本質聯系，通過歸納思維引出“一般”問題的解法. 這種解決問題的方法叫作“特殊化法”，是一種把研究對象或要解決的問題從大范圍縮小到較小范圍或個別情況，甚至極端情況來考慮，實行“以退為進”的策略，對條件和結論之間關系不明確或題目本身很抽象的數學問題，用“特殊化”替代一般情況往往能起到化繁為簡、化難為易的功效.

這里筆者舉的具體例子是化歸思想在選擇題、填空題中的應用. 在解選擇題、填空題時，當選擇題、填空題結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個值時，可采用特殊化法. 特殊化法一般可取特殊值、特殊位置、特殊數列、構造特殊圖形或幾何體等.

這題是選擇題，我們不必按部就班地進行整體化簡，可以采取特殊賦值的方法，從而很輕松地解決這道題. 由題目已知，0>a>b，不妨取a=-1，b=-2，將特殊值代入題目需要化簡的式子中，得出一個具體值，然后將其對照四個選項來判斷，很快就可以選出正確答案.

在選擇、填空題中，答案符合原題意即可. 所以在做選擇題時我們可根據題意對問題中的未知數取特殊值或限定特殊范圍，再對各選項進行排除，最后方可得到答案. 這種方法在考試中尤為方便，不僅可以節約時間，其準確率也是百分之百.

總之，化歸思想可以滲透在教學的各個階段、各個環節、各個教學內容，熟練掌握化歸思想能使數學問題簡單化. “授之以魚，不如傳之以漁”“教是為了不教”，在教學過程中教師應充分滲透各種數學思想，努力讓學生在自主探索、合作交流、積極思考和實踐操作的基礎上領悟并駕馭數學思想，發展學生的思維，提升學生的數學素養.