小題莫大做 勤思方法多

摘 要：本文通過對數(shù)學(xué)習(xí)題的解法探析，提煉一些方法和思考。

關(guān)鍵詞：習(xí)題；方法；思考

以前上晚自習(xí)的時候，我們都在做老師布置的習(xí)題，其中有這樣一道題：

【題1】 已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E，F(xiàn)，G，H，設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則T/S等于 。

看到題目以后，我立即畫圖（圖形很復(fù)雜的哦），然后寫呀、算呀，十多分鐘后，終于算出來了，和同桌小紅對答案的時候，小紅看到我寫得滿滿的草稿紙，說：我知道你怎么做的，太復(fù)雜了。我問她是怎么做的，她說：因?yàn)檫@是一個填空題，所以可以考慮十分特殊的情形。假如把四面體ABCD“壓扁”成一個高為0的“四面體”，那么四面體EFGH也會被“壓扁”到高為0，這樣，兩個四面體的表面就分別被壓到一個三角形中去了，如圖，問題就轉(zhuǎn)化成求兩個三角形面積之比，求解起來就十分簡單了。

小紅的想法真不錯，省去了對復(fù)雜圖形的研究，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，達(dá)到了化繁為簡的目的。

后來我在做到下面的一題（題2）的時候，突然想到小紅的這一做法，很快就獲得了答案。題目如下：

【題2】 △ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為 H，向量OH=m（OA+OB+OC），則實(shí)數(shù)m= 。

解題的時候，考慮到題目對三角形的類型沒有明確的要求，意味著結(jié)論對任意三角形都成立，故可取等腰直角三角形，則A與H重合，所以易求得m=1。

能夠在解不同的題目時用同一種思路，那么一定意味著一個有效的解題策略。這時，我想起上數(shù)學(xué)課的時候，老師經(jīng)常告訴我們一些他的“獨(dú)門秘笈”，比如“加大思維量就是減少計算量”，“對形式上比較規(guī)整、對稱的式子不要輕易去破壞”，“充分尊重形式的解題方法才是最好的方法”等等，聽起來很美好，但做起來，結(jié)果卻是那么遙遠(yuǎn)。直到進(jìn)入高三以來，做的題多了，和同學(xué)們的交流多了，這才慢慢體會到老師所言不虛。最近我花了一點(diǎn)時間，把以前積累的“好題”中的選擇填空題的解法認(rèn)真整理了一番，有了不少心得體會，寫在下面，與同學(xué)們分享。

一、 特值法

一些題目的條件具有一般性，即對所有情形都成立，那么對某特殊情形肯定也成立。所以可取特殊值確定一個正確的答案。一般取符合條件的一個字母或參數(shù)的確定值，或一個確定的函數(shù)，或一個特殊的圖形（位置）。

【例1】 等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）

A. 130B. 170C. 210D. 260

分析：本題結(jié)論對所有的m值都成立，對特殊的m值比如1也成立，若取m=1，立得前3m項(xiàng)和為210，故選C。

【例2】 函數(shù)y=x-1+1（x≥1）的反函數(shù)是（ ）

A. y=x2-2x+2（x<1）

B. y=x2-2x+2（x≥1）

C. y=x2-2x（x<1）

D. y=x2-2x（x≥1）

分析：令x=1，則y=1，則其反函數(shù)當(dāng)x=1時y=1，而選擇支A要求x<1，選擇支C、D中當(dāng)x=1時y=-1，故立即排除A、C、D，選B。

【例3】 如果奇函數(shù)f（x）在[3，7]上是增函數(shù)且最小值是5，則f（x）在[-7，-3]上是（ ）

A. 增函數(shù)且最小值為-5

B. 減函數(shù)且最小值為-5

C. 增函數(shù)且最大值為-5

D. 減函數(shù)且最大值為-5

分析：構(gòu)造一個符合條件的增函數(shù)f（x）=53x，立選C。

【例4】 已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α，β為參數(shù)，0≤α<β≤π，是否存在這樣的α，β，使得 f（θ）是與θ無關(guān)的定值？

分析：如果存在這樣的α，β，使得f（θ）是與θ無關(guān)的定值，那么可分別取θ值為0，π2，-α，-β，則依次可求得：

f（0）=sin2α+sin2β

fπ2=3-sin2α-sin2β

f（-α）=sin2α+sin2（β-α）

f（-β）=sin2β+sin2（α-β）

因?yàn)閒（θ）是與θ無關(guān)的定值，故：f（0）=fπ2=f（-α）=f（-β），

由此可以解得

sin2α=sin2β=sin2（β-α）=34

又0≤α<β≤π，則0<β-α≤π

sinα>0，sinβ>0，sin（β-α）>0

所以sinα=sinβ=sin（β-α）=32

解得：α=π3，β=2π3代入f（θ）=32。

故當(dāng)α=π3，β=2π3時，f（θ）是與θ無關(guān)的定值。

二、 賦值法

即我們平時常說的代值檢驗(yàn)法，當(dāng)代入一個符合條件的字母或變量的值時，其對應(yīng)的結(jié)果應(yīng)該在所有符合條件的結(jié)果的集合中，主要用于求值和求變量范圍。

【例5】 已知x>0，y>0，且x+y≤ax+y恒成立，則a的最小值是（ ）

A. 2B. 22C. 2D. 1

分析：當(dāng)x=y時，可以推出a≥2；當(dāng)x≠y時，不妨設(shè)x=1，y=4，可以推得a≥355，2≥355。即當(dāng)x≠y時，a可取比2更小的值即可滿足，因此滿足條件的a的最小值是2。

【例6】 若sinα+cosα=-15，α∈（π，2π），則tanα=（ ）

A. -43B. -34

C. -43或-34D. 43或34

分析：容易想到常用勾股數(shù)3，4，5。又由于sinα<0，故令sinα=-45，可求得cosα=35，從而tanα=-43，選A。endprint

三、 極（限）值法

考慮極限值或極限位置，注意此時極限值或極限位置未必在條件范圍內(nèi)，但我們可研究極限值或極限位置附近的情形，據(jù)此判斷答案取值情形。

【例7】 函數(shù)y=x-1+1（x≥1）的反函數(shù)是（ ）

A. y=x2-2x+2（x<1）

B. y=x2-2x+2（x≥1）

C. y=x2-2x（x<1）

D. y=x2-2x（x≥1）

分析：對原函數(shù)，若x→+∞，則y→+∞，從而反函數(shù)中，x必可 取大于1的值，立即排除A，C；再考慮原函數(shù)不過原點(diǎn)，排除D。

【例8】 橢圓x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的切線交x軸于A，交y軸于B，則|AB|的最小值為（ ）

A. 2a2+b2B. a+b

C. 2abD. 4ab

分析：將橢圓變成極特殊的情形——圓，則不妨令a=b=1，如圖，C為切點(diǎn)。

則：|AB|=|AC|+|BC|≥2|AC|·|BC|=2|OC|2=2

即當(dāng)a=b=1時|AB|=2，在四個選項(xiàng)中，只有B滿足。

四、 估值法

根據(jù)題給條件，估計取值范圍，排除錯解。

【例9】 已知直線l過點(diǎn)（-2，0），當(dāng)直線與圓x2+y2=2x有兩個交點(diǎn)時，其斜率k的范圍是（ ）

A. （-22，22）B. （-2，2）

C. -24，24D. -18，18

分析：如圖所示，當(dāng)直線過圓的最高點(diǎn)時斜率為1/3，當(dāng)相切時知所求斜率的最大，由圖形可知最大值比1/3略大，選C。

【例10】 設(shè)0≤x<2π，且1-sin2x=sinx-cosx，則（ ）

A. 0≤x≤πB. π4≤x≤7π4

C. π4≤x≤5π4D. π2≤x≤3π2

分析：1-sin2x=sinx-cosx≥0，所以sinx≥cosx，故選C。

以上這些做法，都巧妙地避開了比較繁雜的計算，而且能夠快速、準(zhǔn)確地獲得正確的答案，對提高全卷的得分大有裨益。親愛的同學(xué)，你有哪些解題的“獨(dú)門秘笈”呢？

作者簡介：

任景舜，安徽省亳州市，亳州市第一中學(xué)高三（3）班。endprint