巧用復數理論解決初等數學問題

岳曦夢+劉雙雙

摘 要：在很多問題中，巧妙地利用復數，會使問題簡潔明快。不等式問題，在數學當中有著廣泛的應用，在本文中，我們將復數模的基本性質、復數的幾何意義，復數間形式的轉化，復數與向量的關系等應用到基本實數不證明的證明當中。

關鍵詞：復數；不等式；復數模的性質；復數的應用；解析；幾何

一、 前言

十六世紀前半葉，在Cardan公式中用了復數開放而引進了復數。它在很長一段時間內困惑著廣大數學工作者，以至于被稱為“詭辯量”、“實數的鬼魂”、“虛數”、“介于存在與不存在之間的兩棲物”等。復數與我們過去認識的數有一個明顯的區別，復數沒有大小。對此，一度也曾使人費解。直到上世紀初，數的大小與數的加法、乘法運算有著密切關系，也就是說，數的大小順序要與某種排列順序分開，前者受運算性質的制約，后者可以與運算性質沒有關系。

雖然復數之間不存在大小關系，但是復數的模、實部、虛部作為實數，是可以比較的，因此復數的模、實部、虛部之間是存在不等關系的。利用復數的性質、幾何意義等可以對不等式進行巧妙地證明，我們將復數形象地理解為：復數z=a+bi與復平面內的點z（a，b）是一一對應的，也可理解為：復數z=a+bi與復平面內的向量OZ是一一對應的。將復數具體話將幫助我們更深刻的理解復數，更加巧妙地運用復數來解決實際遇到的問題，探究復數在解決數學題中的重要意義，培養學生創造性的思維。

二、 在解析幾何中求動點到定點距離的最值

在解析幾何中，求定點到動點距離，也可以考慮把問題轉化為求復平面上這兩點為起始的向量的模的最值。

【例1】 求圓C：x2+y2=4上的點到定點P（3，33）的最大距離與最小距離。

解：圓C的復數形式是|Z|=2；設圓C上的任意點為Z，對應的復數是Z，

P點應的復數是：3+33i；由復平面上兩點間距離公式得|PZ|=|Z-（3+33i）|，

據兩復數差的模的不等式，有 ||Z|-|3+33i||≤|Z-（3+33i）|≤|Z|+|3+3i|；即4≤|PZ|≤8，由Z的幅角的任意性，可知兩個等號可以到達，

圓C上的點到定點P的最大距離是8，最小距離是4。

三、 用復數證明正弦定理

正弦定理：asinA=bsinB=csinC。

證明：建立坐標系，三角形在坐標系中任意位置，

設A、B、C所對應的復數分別為z1、z2、z3。

顯然z3-z1z2-z1=bc（cosA+isinA），z1-z2z3-z2=ca（cosB+isinB）

故sinAa=cabIz3-z1z2-z1=cab|z3-z1|2I（z3-z1）（z3-z1）=1abcIz1z3-z2z3-z1z2

∵Iz3z2-z3z1=Iz1z3-z2z3

故asinA=bsinB，同理bsinB=csinC，所以有asinA=bsinB=csinC成立。

四、 利用復數的模導圓錐曲線方程

圓錐曲線是動點到定點的距離和到定直線的距離之比是常數λ的點的軌跡。利用復數的模同樣能實現推導圓錐曲線，下面是求解的具體步驟方法。

解：設動點z=x+yi，定點為z0，定直線為z=-p2i，

則有|z-z0|=λ|Iz-Ip|；即x+yi-p2=λy+p2，

當λ=1時為x2=2py，若定點為z0=p2，定直線為z=-p2，則用同樣的方法可導出此圓錐曲線的方程：x-p22+y2=λ2x+p22，當λ=1時，方程為y2=2px。

五、 求解含有復數的不等式

含有復數的不等式是我們中學曾經接觸過的，在應用復數理論的時候，更要注意巧妙、嚴謹的使用，才能將復數思維的寬度以及廣度最大化，把虛無的世界變得條理清晰，具備說服力和真實性。

【例2】 解不等式-1

解：已知z+1z∈R，于是可令z+1z=r（r∈R），不等式即可變形為：-1

所以不等式-1

倘若令不等式-1

則x=r2，y=±4-r22，x2=r22，y2=1-r24=1-x2

則x2+y2=1，并且y≠0，x≠±1；由此可知解集S是復平面上以原點O為圓心，

以1為半徑的圓心上去掉（1，0）和（-1，0）兩點的兩段連續圓弧。

參考文獻：

[1]常庚哲.復數計算與幾何證明[M].上海教育出版社，1980：55-56.

[2]余致甫.數學教育學概論[M].上海：華東化工學院出版社，1990：172-176.

[3]宋慶.數學問題解答I257題[J].數學通報，2000，（3）：7-10.

作者簡介：

岳曦夢，吉林省長春市，吉林師范大學；

劉雙雙，浙江省杭州市，杭州市星瀾小學。