基于廣義多項式混合效應模型非壽險信度費率厘定

康萌萌

（山東財經大學 保險學院，濟南 250014）

0 引言

在非壽險精算中，信度理論是常用的經驗費率厘定方法。在該方法中，所用的損失數據為每個風險類別若干年的損失，這種數據具有縱向數據的特點，即對每個風險類別的損失重復觀測若干年，同一風險類別不同年份的損失數據之間存在相關性。在統計中，常用線性隨機效應模型[1-3]對這種數據進行建模。Frees等（1999）[4]將5種常見的線性信度模型表示為線性隨機效應模型，用廣義最小二乘法估計參數并預測信度保費。線性隨機效應模型是在經典線性回歸模型的均值方程中加入隨機效應來處理數據之間的相關性，它假設因變量服從正態分布，隨機效應也服從正態分布。但在非壽險中，損失數據要么是損失次數數據，要么是損失金額數據，損失次數是離散型分布，損失金額通常是右偏分布，具有較厚的右尾，都不服從正態分布。如果此時仍用因變量服從正態分布的線性隨機效應模型建模，則會導致參數錯誤估計從而不能預測出合理保費。因此，可以將因變量推廣到指數分布族，將線性隨機效應模型推廣到廣義線性混合效應模型，Mc-Culloch和Searle（2001）[5]和Demidenko（2004）[3]對該模型進行詳細介紹。目前廣義線性混合效應模型在非壽險精算中有著廣泛應用[6-8]。

然而，廣義線性混合效應模型假設模型系統成分隨時間變化是線性的。但在精算實踐中，系統成分隨時間的變化并非是線性的，即不同時間系統成分的變化率可能不同。當變化為非線性時，通常需要在系統成分中加入時間變量的多項式函數，從而將廣義線性混合效應模型推廣到廣義多項式混合效應模型，該模型在統計學中被成為曲線發展模型，也被成為廣義非線性混合效應模型。對于非線性混合效應模型，國外從20世紀80年代開始進行研究，現在已經廣泛應用于生物、醫藥、經濟、金融等諸多領域[9-11]。在精算學中，還未見有學者將非線性隨機效應模型用于非壽險信度費率厘定中。本文利用廣義多項式混合效應模型重新構建了信度模型，在該框架下，估計信度模型結構參數，預測信度保費，并與廣義線性混合效應模型進行對比。

1 理論模型

1.1 信度理論

信度理論主要研究如何利用先驗信息和標的物的損失經驗對后驗保費進行估計。根據Frees等（1999）[4]可以用線性隨機效應模型對線性信度模型進行建模，以Bühlmann信度模型為例。其余的線性信度模型都可以用線性隨機效應模型進行建模。

假設有n個風險類別，對每個風險類別i的損失觀測t年。若第i個風險類別在第t年的損失額為yit，則Bühlmann信度模型可以表示為如下線性隨機效應模型：

其中，μ為總體均值，所有風險類別的平均損失；bi為第i個風險類別的損失與總體均值的差額，E[bi]=0，Var[bi]=a，方差a表示每個風險類別之間的差異，被稱為結構參數，其分布被稱為結構分布。εit為第i個風險類別第t年的索賠與第1年至第T年的平均索賠之間的差額，E[εit]=0 ，Var[εit]=s2，方差 s2為結構參數，表示同一個風險類別不同時期損失的差異。

線性隨機效應模型假設因變量損失金額yit服從正態分布，隨機效應也服從正態分布，但在精算實踐中，損失金額通常是右偏分布帶有較長右尾。因此，可以將因變量的分布推廣到指數分布，用廣義線性混合效應模型進行建模。

1.2 廣義多項式混合效應模型

廣義多項式混合效應模型是在廣義線性混合效應模型的基礎上發展而來的。廣義線性混合效應模型假設模型系統成分隨時間變化是線性的。在精算實踐中，損失金額隨時間變化并非線性變化，而是不同時間的變化率可能不同，這時應該考慮用廣義多項式混合效應模型進行建模。因此，在介紹廣義多項式混合效應模型之前先介紹廣義線性混合效應模型的相關理論。

1.2.1 廣義線性混合效應模型

廣義線性混合效應模型是在廣義線性模型的基礎上，在均值方程中加入隨機效應。其構成與廣義線性模型相同，是由隨機成分、系統成分和連接函數構成。

（1）隨機成分為因變量的概率分布，在該模型中，假設因變量服從指數分布族。若有n個風險類別，對每個風險類別i的損失觀測t年。若第i個風險類別在第t年的損失額為 Yit,則為第 i個風險類別的觀測向量。給定第i個風險類別的隨機效應bi的條件下，Yit的密度函數為：

其中，φ（?）和 c（?）是已知函數，θ 是自然參數，? 為尺度參數。其均值和方差為其中，V（?）為因變量變異，它是條件均值的函數；?為離散參數（殘差變異）。

（2）系統成分為解釋變量的線性組合和隨機效應線性組合，即其中，β（p×1）表示固定效應，bi（q×1）表示第i個風險類別的隨機效應，隨機效應用來表示風險類別之間的異質性和同一個風險類別不同觀測之間的異質性。 Xi（ni×p）和 Zi（ni×q）表示 p 個固定效應和q個隨機效應的設計矩陣。

（3）連接函數是連接系統成分和隨機成分的函數，即g（μ）=η 或 E[Y]=μ=g-1（η）。連接函數為可逆函數，滿足可導和單調的要求。

1.2.2 廣義多項式混合效應模型

廣義多項式混合效應模型與廣義線性混合效應模型一樣，也是由隨機成分、系統成分和連接函數構成。其中，隨機成分和連接函數與廣義線性混合效應模型一樣。在系統成分中，由于系統成分隨時間不再是線性變化，而是不同時間的變化率不同，因此，在均值方程中建立時間變量的多項式函數。系統成分隨時間變化拐點越多，時間變量多項式函數的方次越高。從理論上講，對于有T次觀測的第i個風險類別來說，時間變量多項式函數最高可能為（T-1）次方。

1.3 參數估計

本文采用限制性虛擬似然法對廣義多項式隨機效應模型進行參數估計。若Yi為第i個風險類別的損失向量，和為 β（p×1）和 bi（q×1）的估計值。若隨機效應 bi的均值為0，協方差為D，則在bi的條件下Yi的協方差為：

其中，Aμi（T×T）是對角矩陣，其對角線上的元素為V（μit）（t=1，…，T），Ri（T×T）為指定結構。若 ei=Yi-μi，ei的一級泰勒級數近似值為：

其中：

Wolfinger&O’Connell（1993）[12]在?和已知下，用ei|β，bi的條件分布來近似的分布。若 Aμ中用來替代μi，近似分布為：

2 實證分析

2.1 數據來源

本文所用數據集為1993—1998年29個馬塞諸州城鎮車身損失責任保險損失額數據，該數據集中還包括每平方米人口（PPSM）和人均收入（PCI）。表1給出1993—1998年每年平均損失額的統計特征，表2（見下頁）給出1993—1998年6年間平均損失額的相關系數。

表1 1993—1998年平均損失額統計特征

從表2中可以看出，每年損失額之間存在較強的相關性，其中，相關性最大值為1995年和1997年，損失額之間的相關性為0.8752，相關性最小值為1994年和1998年，損失額之間的相關性也有0.5726。因此，在建模中應該將每年損失額之間的相關性考慮在內。本文采用廣義多項式隨機效應模型來處理個體內損失額異質性、個體間損失額異質性、個體損失額隨時間非線性變化等問題。

表2 1993—1998年平均損失額的相關性分析

2.2 實證模型

在非壽險精算中，由于事故發生后會存在聘請律師、法庭訴訟等問題，理賠費用往往較高，因此損失金額往往是右偏分布，具有較厚的右尾，因此，常用伽瑪分布、逆高斯分布和對數正態分布來對損失金額進行擬合。本文也采用因變量服從這三種分布的廣義多項式混合效應模型對損失金額數據進行建模。根據前面理論部分的介紹，廣義多項式混合效應模型由隨機成分、系統成分和連接函數三部分構成。

若Yit表示第i風險類別在第t年的損失金額，其中i=1，2，…，n，t=1，2，…，Ti。

（1）隨機成分，即因變量的分布，本文假設因變量服從伽瑪分布、逆高斯分布和對數正態分布。

①若Yit服從伽瑪分布，則其概率密度函數為：其中，均值為 E[yit|bi]=μit，方差為尺度參數為v。

②若Yit服從逆高斯分布，則其概率密度函數為：

其中，均值為 E[yit|bi]=μit，方差為尺度參數為σ。

③若Yit服從對數正態分布，則其概率密度函數為：

其 中 ，均 值 為 E[yit|bi]=exp（μit+0.5σ2），方 差 為

（2）系統成分，即均值方程。

為了便于將廣義線性混合效應模型和廣義多項式混合效應模型進行比較，首先建立廣義線性混合效應模型的均值方程，將協變量PPSM和PCI作為固定效應加入均值方程，將年份既看作固定效應又看作隨機效應，建立如下四種均值方程。

模型1：log（μit）=β0+β1PCI+ β2PPSM+bi，0

模型2：log（μit）=β0+β1PCI+ β2PPSM+ β3Yearit+bi，0

模型3：log（μit）=β0+β1PCI+ β2PPSM+bi，0+bi，1Yearit

模型4：log（μit）=β0+ β1PCI+β2PPSM+β3Yearit+bi，0+bi，1Yearit

其次，建立廣義多項式混合效應模型，協變量PPSM和PCI還是作為固定效應加入均值方程，將時間變量的多項式函數作為固定效應加入均值方程。共有6年的損失數據，時間變量的多項式函數最高取5次方。在高次多項式建模中一個重要問題是模型中的線性項、平方項和高次項之間可能會存在多重共線性。Hedeker和Gibbons（2006）[13]認為具有3個時點的多項式混合效應模型，線性項和平方項之間幾乎是完全相關的。如果將時間減去均值，則線性項和平方項就不存在多重共線性。因此，在實證中，以觀察期的中點作為中心點，對時間變量進行中心化處理。本文共有6年數據，中心點為3.5年。建立下面兩個均值方程：

其中，Yit表示第i個風險類別第t年內（如在（t- 1，t）時間段內）的損失額。Yrit表示第i個風險類別第t年中心化后的時間變量，即Yrit=Yearit-3.5，βi表示模型的固定效應，bi，0表示第i個風險類別的起始水平偏離模型總體平均起始水平的程度，bi，1表示第i個風險類別損失額隨時間的變化率偏離總體隨時間的變化率程度。通常假設 bi，0和 bi，1服從為二元正態分布，即（0，D），其方差/協方差矩陣為：

（3）連接函數，采用對數連接函數。

2.3 實證結果

2.3.1 廣義線性混合效應模型參數估計

對于廣義線性混合效應模型，模型2通過了顯著性檢驗，即兩個協變量PPSM和PCI是顯著的，時間作為固定效應是顯著的，作為隨機效應并不顯著，三種因變量假設下，參數估計結果如下頁表3所示。

表3表明模型固定效應部分的變量都通過了顯著性檢驗，在隨機效應部分，SAS軟件只給出了隨機效應的參數估計值和標準差，沒有給出顯著性檢驗，將兩者的比值作為隨機效應顯著與否的參考，三個模型隨機效應參考值都大于2，說明截距項的隨機效應是顯著的。由于限制性虛擬似然法是使用虛擬數據進行迭代估計，不能提供真實似然值，因而-2 Res Log Pseudo-Likelihood不能用于嵌套模型比較。因此，本文通過比較模型的均方誤差來確定最優模型。

表3 損失額廣義線性混合效應模型參數估計

2.3.2 廣義多項式混合效應模型參數估計

對于廣義多項式混合效應模型，模型5通過了顯著性檢驗，即時間作為固定效應是顯著的，作為隨機效應并不顯著，三種因變量假設下參數估計結果如表4所示。

表4 索賠額廣義多項式混合效應模型參數估計

表4表明固定效應協變量PPSM和PCI，隨機效應截距項都通過了顯著性檢驗。另外，對伽瑪多項式隨機效應模型和逆高斯多項式隨機效應而言，時間變量的三次項和五次項通過了顯著性檢驗，對對數多項式隨機效應而言，時間變量的平方項、三次項和五次通過了顯著性檢驗。

六種模型六年的預測值和真實值如圖1所示：

圖1 六種索賠額模型六年預測效果

圖1給出了三種廣義線性混合效應模型和三種廣義多項式混合效應模型的預測值與真實值之間的比較。表5進一步給出了六種模型的均方誤差來評價模型的預測效果。

表5表明，廣義多項式混合效應模型對索賠額預測的均方誤差比廣義線性混合效應模型的小，說明對于此數據建立廣義多項式混合效應模型比建立廣義線性混合效應模型更合適。

表5 索賠額最小均方誤差

3 結論

在非壽險精算中，由于保險產品的復雜性和多樣性，保險產品定價面臨較大的不確定性，因此，精算師應該通過分析保險產品的損失數據，在符合定價基本原則下，采用多種不同的方法厘定費率，比較不同方法的結果，選擇最優保費，從而確保費率厘定的公平性和準確性。本文在廣義線性混合效應模型的系統成分中加入時間變量多項式，將廣義線性混合效應模型推廣到廣義多項式混合效應模型，將其用于信度費率厘定中，并利用美國馬塞諸州城鎮車身損失責任保險的損失額數據進行實證分析，得到如下結論：

（1）廣義多項式混合效應模型與廣義線性模型和廣義線性混合效應模型一樣，因變量服從指數分布族，該分布族有許多常見的分布，如泊松分布、二項分布、正態分布、逆高斯分布、伽瑪分布等。該模型放寬了一般線性混合效應模型對數據的限制條件，能擬合更廣泛的數據。

（2）廣義多項式混合效應模型是在廣義線性混合效應模型的系統成分中加入時間變量的多項式函數，用以反映系統成分隨時間的非線性變化，使得模型更加貼近現實。

（3）廣義多項式混合效應模型彌補了傳統定價模型的不足，提高了估計精度，豐富了保險公司費率厘定的工具。

（4）廣義多項式混合效應模型使得信度保費厘定更加簡單。傳統信度模型，需要求出信度因子，然后利用信度保費的計算公式計算出信度保費。然而，在廣義多項式混合效應模型中，信度保費直接可以預測出，大大簡化信度保費的計算。

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