STAR模型下退勢單位根檢驗統計量的比較

歐陽敏華

（華南師范大學 經濟與管理學院，廣州 510006）

0 引言

STAR模型因其能夠較好地擬合和預測時間序列動態中的機制轉換非線性特征，而被廣泛應用于諸如經濟周期、購買力平價等經濟理論的實證研究中。早期的STAR模型的建模一般都假定時間序列是平穩的，或根據DF等傳統單位根檢驗方法對時間序列數據的平穩性進行檢驗。然而，越來越多的研究表明傳統的DF等單位根檢驗統計量在非線性模型下的檢驗勢下降得比較厲害，這激發了大量的在非線性模型框架下的單位根檢驗方法的研究。Kapetantios等（2003）[6]首次在STAR模型框架下建立的單位根檢驗統計量（以下簡稱KSS統計量）顯著地提高了檢驗勢，有效地拓展了傳統的DF單位根檢驗方法，在時間序列的單位根檢驗實踐中得到廣泛應用。

考慮到實際宏觀經濟時間序列中常常包含確定性趨勢成分，Kapetanios和Shin（2008）[4]將Elliot等（1996）[5]在線性模型中的GLS退勢方法拓展到了STAR模型下，建立了KSS統計量的GLS退勢版本，Monte Carlo模擬研究的結果表明，GLS退勢的KSS統計量比OLS退勢KSS統計量有更高的檢驗勢。在線性模型框架下，除OLS和GLS退勢之外，遞歸退勢也是常用的退勢方式之一。張曉峒和白仲林（2005）[6]在對線性模型下退勢單位根檢驗的小樣本性質的比較研究中，通過Monte Carlo模擬研究發現遞歸退勢與一些單位根檢驗方法相結合的方式有更為理想的小樣本性質。STAR模型框架下遞歸退勢單位根檢驗統計量的檢驗勢如何，是否有高于GLS和OLS退勢單位根檢驗的有限樣本表現，這一問題目前尚無文獻涉及，還有待于進一步的研究。為此，本文嘗試將遞歸退勢的方法拓展到STAR模型框架下的單位根檢驗中，比較研究不同退勢方式下單位根檢驗統計量的有限樣本表現，特別是考慮了初始條件對不同退勢單位根檢驗統計量檢驗勢的影響。

1 STAR模型下的退勢單位根檢驗

考慮如下包含確定性線性趨勢成分的STAR模型：

其中，εt～iid（0，σ2）。 a 為常數項，b 為時間趨勢項的系數，a+bt表示確定性線性趨勢成分。F（θ，c;yt-d）為平滑轉換函數，θ為平滑參數，c為門限參數，d為時滯參數。遵循Kapetantios等（2003）[3]中平滑轉換函數的設定方式，取當 θ→0 時，F（θ，c;yt-d）→0 時，式（1）退化為一個包含確定性線性趨勢成分的單位根過程：Δyt=a+bt+εt。顯然，當-2＜?＜0，且G（θ，c;yt-k）≠0時，式（1）為一個局部存在單位根但整體平穩的平滑函數為指數函數的STAR過程（ESTAR過程）。這一過程蘊含著，當 yt-1在均衡點附近時，可以是隨機游動的，而一旦yt-1遠離均衡點時，將存在內生機制使得其向均衡點回復，回復速度取決于平滑參數以及偏離均衡點的距離。

判斷時間序列yt是一個單位根過程還是一個全局平穩的ESTAR過程，可建立檢驗原假設H0∶θ=0，備擇假設為H1∶θ＞0。由于在原假設下時間序列yt為一個單位根過程，式（1）中的參數?不可識別，面臨假設檢驗中著名的Davies問題，不可直接在原假設下建立檢驗統計量進行統計檢驗。為此，Kapetantios等（2003）[3]建議在θ=0處，將平滑轉換函數F（θ，c;yt-d）一階Taylor展開為多項式函數，建立如式（2）所示的輔助回歸模型：

其中，εt為隨機誤差項。由式（2），三次項作為指數平滑函數的近似。在輔助回歸模型中，對時間序列yt是否為單位根過程的統計檢驗比較容易實施，可類似線性模型下的DF單位根檢驗，直接建立一個t統計量便可對原假設 H0∶δ=0和備擇假設 H1∶δ＜0進行統計檢驗。

由于式（2）中包含確定性線性趨勢成分，為提高單位根檢驗的檢驗勢，在單位根檢驗實踐中一般應先將確定性線性趨勢成分剔除掉，然后再對殘差序列進行單位根檢驗。這種對含有確定性線性趨勢成分時間序列的單位根檢驗的策略，稱為退勢單位根檢驗。針對式（2）的退勢單位根檢驗策略為：先將時間序列 yt對（1，t）進行回歸得到參數 a，b 的估計值退勢后的序列然后再對進行單位根檢驗，檢驗模型為：

根據式（3），建立對原假設 H0∶δ=0 和備擇假設H1∶δ＜0進行統計檢驗的t統計量為：

在對時間序列yt退勢時，不同退勢方式之間的主要差異在于對確定性趨勢項中參數估計方法的不同。OLS或GLS退勢方式為將時間序列yt對線性趨勢項進行OLS或GLS回歸，得到a，b的OLS或GLS估計值，進而可以得到退勢序列Kapetantios等（2003）[3]、Kapetanios和Shin（2008）[4]探討了STAR模型下的OLS和GLS退勢單位根檢驗方法。本文將探討Chang（2002）[1]和Taylor（2002）[2]提出的遞歸退勢方法在STAR模型下單位根檢驗中的應用，并將其與OLS和GLS退勢單位根檢驗統計量在有限樣本表現方面進行比較。Chang（2002）[1]遞歸退勢方式可由式（5）和式（6）表示為：

Taylor（2002）[2]的遞歸退勢方式可由式（7）和式（8）表示為：

由式（6）和式（8），Chang（2002）和 Taylor（2002）在對yt-1的退勢方式上，兩者是相同的；而在對 yt退勢上，Chang（2002）考慮了 Δyt項。OLS和GLS退勢在對參數a，b的估計上采用的是全樣本數據，即采用的是所有樣本數據，而遞歸退勢方式在對序列yt退勢時，只采用截至時間t的樣本數據，然后采用遞歸的方式逐次估計參數a，b，進而得到時間t的退勢序列。時間序列 yt按式（5）和式（6）或式（7）和式（8）退勢后的序列代入式（3）中，便可以按式（4）計算遞歸退勢單位根檢驗統計量的值。本文采用Monte Carlo數值模擬的方式可以得到在STAR模型下采用Chang （2002）和Taylor（2002）遞歸退勢方法的KSS單位根檢驗統計量的漸近臨界值表，結果列于表1。在表1中，列出了顯著性水平分別為1%、5%和10%，樣本量分別為100、200、500和1000的臨界值；各種情形下Monte Carlo模擬次數均為50000次。

表1 采用Chang（2002）和Taylor（2002）遞歸退勢KSS統計量的臨界值

2 各種退勢KSS統計量的有限樣本表現

為比較各種退勢方式下KSS單位根檢驗統計量的有限樣本表現，建立如下數據生成過程（DGP）：

其中 εt～N（0，1）?？紤]初始條件對檢驗水平（size）和檢驗勢（power）的影響，設定初始值 y0=ζσ0，其中 ζ={0，±1，±2，±3，±4，±5，±6}，σ0為時間序列 yt的樣本標準差，可采用Monte Carlo模擬yt序列的方式計算得到，具體模擬過程可概括為：根據yt的數據生成過程，Monte Carlo模擬初始值為零，樣本量為T的序列yt10000次，然后計算樣本標準差的平均值。

由式（9）表示的數據生成過程，在考查各種退勢方式下KSS單位根檢驗統計量的檢驗水平時，設定平滑參數γ=0 ；考查檢驗勢時，設定 γ={0.01，0.05}，ρ={-0.1，-0.5，-1}。參數 ρ，γ取值的不同組合下，按上述DGP設定的模型的特征比較豐富；有些模型比較接近單位根過程，有些模型中平滑轉換的非線性特征更為突出，因此，數據生成過程的設定方式可以很好地滿足對各退勢KSS單位根檢驗統計量有限樣本表現進行全面比較分析的需要。在對各退勢KSS單位根檢驗統計量有限樣本表現的Monte Carlo模擬分析時，名義顯著性水平設定為0.05，樣本量T=100，200，300，模擬次數為10000次。

首先，考查不考慮初始條件影響情形下，即ζ=0，各退勢KSS單位根檢驗統計量有限樣本表現，相關結果列于下頁表 2。表 2 中，“遞歸退勢I”為Chang （2002）遞歸退勢方式，“遞歸退勢II”為Taylor（2002）遞歸退勢方式。由表2，各退勢KSS單位根檢驗統計量的檢驗水平都不存在扭曲，實際顯著性水平與設定的名義顯著性0.05非常接近。設定模型中平滑轉換的非線性特征越突出（γ或ρ越大），各退勢KSS單位根檢驗統計量的檢驗勢越高。隨著樣本量的增大，各退勢KSS單位根檢驗統計量的檢驗勢會顯著提高。采用GLS和遞歸退勢方式的KSS單位根檢驗統計量的檢驗勢要顯著高于OLS退勢的KSS單位根檢驗統計量，并且，Taylor（2002）遞歸退勢方式下KSS單位根檢驗統計量的檢驗勢要好于Chang（2002）遞歸退勢方式。例如，樣本量T=200，γ=0.01，ρ=-0.1情形下，Taylor（2002）遞歸退勢方式下KSS單位根檢驗統計量的檢驗勢為0.220，Chang （2002）遞歸退勢下為0.116，GLS退勢為0.125，都要高于OLS退勢的0.098。

表2 不考慮初始條件影響，各退勢KSS單位根檢驗統計量有限樣本表現 （α=0.05）

考慮初始條件的影響，即ζ≠0，根據式（9）所表示的數據生成過程，采用Monte Carlo數值模擬研究的方式考查各退勢KSS單位根檢驗統計量有限樣本表現。在數據生成過程中設定 γ={0.01，0.05}，ρ={-0.1，-0.5，-1}，相應組合下的平滑轉換模型共有6種，由于各種模型下各退勢KSS單位根檢驗統計量有限表現的結果是一致的，因此，在表3中只列出了 γ=0.01，ρ={-0.1，-0.5，-1}組合情形下的有關結果。初始條件為負值（ζ＜0）情形下的各種退勢KSS單位根檢驗統計量檢驗勢的特征與初始條件為正值（ζ＞0）情形是一致的，因此，在表3中只列出了初始條件為正情形下的結果。由表3,Taylor（2002）和Chang（2002）遞歸退勢方式下的KSS單位根檢驗統計量的檢驗勢不受初始條件的影響，而GLS和OLS退勢方式下的KSS單位根檢驗統計量的檢驗勢卻受初始條件的影響。GLS退勢下的檢驗勢隨初始條件的增大下降得比較厲害，并且，增大樣本量并不能改善這種影響。這一結果與通常不考慮初始條件下GLS退勢單位根檢驗統計量具有很好的檢驗勢的結論并不一致。圖1更直觀地展示了各種退勢方式下KSS單位根檢驗統計量檢驗勢的變化特征。Taylor（2002）和Chang （2002）遞歸退勢方式下KSS單位根統計量的檢驗勢比較穩定，且前者的檢驗勢要明顯高于后者。OLS退勢方式的KSS單位根檢驗統計量的檢驗勢隨初始條件的增大而迅速上升，而GLS退勢方式卻恰恰相反。

表3 考慮初始條件影響，各退勢KSS單位根檢驗統計量有限樣本表現 （γ=0.05，α=0.05）

圖1 不同退勢方式下KSS單位根檢驗統計量的檢驗勢

3 結論

本文將Taylor（2002）和Chang （2002）提出的遞歸退勢方式應用到KSS單位根檢驗統計量的退勢單位根檢驗中，并將其與OLS和GLS退勢KSS單位根檢驗統計量的有限樣本表現進行了細致的比較。無論是否考慮初始條件的影響，Taylor（2002）和Chang （2002）遞歸退勢方式的KSS單位根檢驗統計量都有較好的有限樣本表現。不考慮初始條件的影響，GLS退勢KSS單位根檢驗統計量的檢驗勢要顯著高于OLS退勢；而考慮初始條件的影響，結論卻恰恰相反。由于在對時間序列進行退勢單位根檢驗實踐中，對于初始條件的大小通常是未知的，因此，采用遞歸退勢的方式可以在一定程度上避免檢驗勢由于初始條件的存在而下降的影響。

[1]Chang,Y.Nonlinear IV Unit Root Tests in Panels With Cross-section?al Dependency,Journal of Econometrics,2002,（110）.

[2]Taylor R.Regression-based Unit Root Tests With Recursive Mean Ad?justment for Seasonal and Nonseasonal Time Series[J].Journal of Business and Economic Statistics,2002,（20）.

[3]Kapetanios G,Shin Y,Snell A.Testing for a Unit Root in the Nonlin?ear STAR Framework[J].Journal of Econometrics,2003,（112）.

[4]Kapetanios G,Shin Y.GLS Detrend-based Unit Root Tests in Nonlin?ear STAR and SETAR Models[J],Economics Letters,2008,（100）.

[5]Elliott G,Rothenberg T J,Stock J H.Efficient Tests for an Autoregres?sive Unit Root[J].Econometrica,1996,（64）.

[6]張曉峒,白仲林.退勢單位根檢驗小樣本性質的比較[J].數量經濟技術經濟研究,2005,（5）.