一道例題的變式設計

林芬芳

摘 要：通過解決圓錐曲線中動點與焦點張角問題這一題型的變式教學，讓學生領會通過問題的分析明確最重要的關系，抓住不變的本質來解決問題，促進數學思想方法內化。

關鍵詞：圓錐曲線 變式教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：C 文章編號：1672-1578（2017）12-0068-01

1 變換視角——培養思維的靈活性

問題1：已知橢圓 + =1的焦點為F1，F2，點P為橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，求點P橫坐標的取值范圍。

大部分學生會于直接利用條件∠F1PF2為鈍角？圯cos∠F1PF2<0 ？圯 1· 2<0…

這種思考方向是對的，但為了培養學生思維的靈活性，可以利用數形結合引導學生進一步思考：點P在橢圓上運動時∠F1PF2的取值會如何變化？能否為銳角？直角？通過這樣的引導，有的學生就會開始意識但只要由直角再轉化到圓直徑進行計算并判斷。

（1）當c

（2）當c=b時，以F1F2為直徑的圓相切于橢圓，于是橢圓上有兩個點使∠F1PF2為直角，不存在使∠F1PF2為銳角的點P。

（3）當c>b時，以F1F2為直徑的圓內和橢圓有四個交點，于是橢圓上有四個點使∠F1PF2為直角，可由為直角的情形計算得出，當點P在圓內的部分的橢圓弧上時，∠F1PF2為鈍角，當點P在圓外部分的橢圓弧上時，∠F1PF2為銳角，相應的點P的橫坐標的取值范圍。

2 變換條件——培養思維的嚴謹性

問題2：已知橢圓 + =1的焦點為F1，F2，點P為橢圓上的動點，當△F1PF2直角三角形時，求點P坐標。

在學習研究問題1后，有的學生受定勢思維的影響，認為和上一題討論的直角情形一樣，沒有注意到在條件“△F1PF2為直角三角形”中，不明確哪個角是直角，事實上應分為三種可能：∠F1PF2為直角，∠PF1F2為直角，∠PF2F1為直角。通過這樣的改變，不僅給學生于警示效果還極大的提高了思想的批判性，這時也不難求出符合條件的8個點P。

3 開放條件——激勵探究，培養思維的深刻性

問題3：已知橢圓 + =1的焦點為F1，F2，點P為橢圓上的動點，試問點P在何處時，∠F1PF2最大？

本題開放問題條件，把特殊的直角轉化為求最值，對學生提出了更高的要求，進一步激發了學生的探究意識，利用圖形學生會猜測：點P在短軸兩端點時，∠F1PF2會最大，那如何推導驗證這個猜測了？不難想到余弦定理來連接角和利用橢圓的定值。接下來我們還可以改變條件，將求最值改成某個具體的定角。比如：

問題4：已知橢圓 + =1的焦點為F1，F2，點P為橢圓上的動點，試問是否存在點P，使得∠F1PF2=30°（60°，120°，θ）？如果有，有幾個？如果不存在，說明理由。

圓錐曲線是高中數學的一個重要內容，涉及這方面的問題有很多變化，不能靠大量的重復練習來取得理想的效果，必須讓學生理解掌握，深刻體會真正的解題思想方法，并會靈活應用，再比如：

課例1：一條長度為m（m>0）的線段AB的兩個端點分別在同一個平面的兩條直線a，b上移動，求直線AB中點P的軌跡。

變式1：一條長度為m（m>0）的線段AB的兩個端點分別在空間的兩條直線a，b上移動，求直線AB中點P的軌跡。

變式2：：一條長度為m（m>0）的線段AB的兩個端點分別在空間的兩條直線a，b上移動，設點P分有向線段AB所成的比為λ（0<λ<1， λ>1）求點P的軌跡。

這組題體現了解決問題的一種方法即立體幾何問題平面化，平面幾何問題解析化。

課例2：已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M，N兩點，橢圓與y軸的正半軸交于B點，若△BMN的重心恰好落在橢圓右焦點上，則直線l的方程是（ A ）

A. 6x-5y-28=0 B. 6x+5y-28=0

C. 5x-6y-28=0 D. 5x+6y-28=0

變式1：已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M，N兩點，橢圓與y軸的負半軸交于B點，若△BMN的重心恰好落在橢圓右焦點上，則直線l的方程是（ 6x+5y-28=0 ）。

變式2：已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M，N兩點，橢圓與y軸的負半軸交于B點，若△BMN的重心恰好落在橢圓左焦點上，則直線l的方程是（ 6x+5y+28=0 ）。

變式3：已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M，N兩點，橢圓與y軸的正半軸交于B點，若△BMN的重心恰好落在橢圓中心上，則直線l的方程是y=-2。

本組題都是利用直線方程代入橢圓方程消元，由根與系數的關系求解，并利用點差法求直線MN的斜率與中點坐標之間的關系。