高中數學填空題解題中多種思維技巧的運用探討

黎師杰

【摘要】在高中各種考試中，數學填空題其實是非常簡單的，雖然沒有像選擇題那樣的選項，但是有著獨特的解題方法.方法要因人而異，有的方法簡單，有的方法比較復雜，所以要選擇正確的方法解題.本文從不同角度探析高中數學填空題的解題奧秘，不但可以降低題目的難度，還可以更快速，更準確地獲取答案，使做填空題越來越有趣，不再枯燥乏味.

【關鍵詞】高中數學；填空題；解題；思維技巧

在高中數學試卷中主要有三種題型：選擇題、填空題、解答題.而填空題雖然所占分值不大，但是它涵蓋知識點較為全面，且題型構思較為精巧，能全面的考查學生們的基礎知識和基本技能.填空題是所有考試中的重點題型之一，雖然大多數學生認為該題型難度系數比較大，但是因其不求過程，只求結果，又是學生們喜歡的一點.學生們可以開闊思維，盡情想象.要想迅速準確的解答填空題，除了需要有嚴密推理能力外，還需要有解答填空題的技巧和方法.下面通過幾種方法來舉例說明：

一、直接推算法

數學中的填空題就是通過仔細分析所給出的信息，通過仔細認真的探索其中隱藏的信息，從而進行解答.這種方法就是直接推算法，根據題目已知信息，直接通過定義、性質、公式、定理等對文字信息進行解譯，再經過簡單的推理、運算或是變形，最終得出正確結果.這種方法是最為簡單，也是最為直接的.但是，這種方法的局限性很大，往往只適用于題意明確，綜合知識間關系簡單且直接的題型.值得一提的是，這種方法若是結合方程思想、不等式思想等解題策略，則會出現意想不到的效果.

例1已知遞增的等差數列{an}滿足a1=1，a3=a22-4，則an=.

解析設等差數列公差為d，則由a3=a22-4，

得1+2d=（1+d）2-4，

∴d2=4，∴d=±2.

由于該數列為遞增數列，∴d=2.

∴an=1+（n-1）×2=2n-1.

探究提高這道有關等差數列的填空題運用了直接推算法，直接利用等差數列的性質、通項公式，算出公差等一系列參數，是一種典型的直接法.此題可以很快看出使用直接法，是比較簡單的，對于一些難一點的題型要透過題目看本質，利用直接法得出正確的結果.總之，這類題都是比較簡單的，容易求解.

二、特殊轉化法

數學填空題中的特殊轉化法使用起來是特別方便的，這種方法將特殊情況轉化為一般，做題速度得到很大提升.特殊轉化法主要用于一些數形結合、可以進行圖形模擬、展示的習題.學習函數知識時、學習立體幾何知識、學習三角函數時，特殊轉化法十分有效.

例2求函數f（x）=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值.

解析y=f（x）=2-4asinx-（1-2sin2x）=2sin2x-4asinx+1=2（sinx-a）2+1-2a2設sinx=t，則-1≤t≤1，并且y=g（t）=2（t-a）2+1-2a2.

當a<-1時如圖所示.

有y最大=g（1）=3-4a，y最小=g（-1）=3+4a.

當-1≤a≤1時，y最大為g（-1）和g（1）中的較大者，即y最大=3-4a（-1≤a≤0）或者y最大=3+4a（0≤a≤1），y最小=1-2a2.

當a>1時，則有y最大=g（-1）=3+4a，

y最小=g（1）=3-4a.

探究提高例題中通過換元將三角函數轉化為比較熟悉的二次函數問題，并且利用二次函數圖像結合進行分類討論，使問題得到解決.特殊轉化法是我們常用的方法之一，特別簡便，做起題來很簡單，而且不容易做錯.填空題假設條件中雖含有某些不確定量，若填空題結果是一定數值或結論時，則可以考慮采用特殊化技巧.解題過程中，將題中變化的不定量選取適當特殊值進行處理，進而很快得到相應的結果，非常方便.

三、構造法

構造法是一種非常奇特的方法，有時候簡單，有時候復雜，要根據不同類型題選擇不同方法.這種方法需要利用已知條件和結論構造出新的數學模型，構造法利用已知條件構造一些可以解答題目的方法，使解題過程更加簡便.

例3在等差數列{an}中，a3+a5=6，a2a6=5，求an？

解析在等差數列中，a3+a5=6可以推出a2+a6=6.

構建方程x2-6x+5=0，那么a2，a6是其中的兩個根，

所以a2=1，a6=5，或者a6=5，a2=1.

當a2=1，a6=5時，a1=0，d=1，那么an=n-1；

當a6=5，a2=1時，a1=6，d=-1，那么an=7-n；

由此得出，an=7-n或者an=n-1.

探究提高整體思考，聯系等差數列，利用特征進行求值，是整體觀念與構造思維的一種應用.這類構造題需要有著很強的數學模式思維，看到題的那一刻腦中就會浮現解題思路與解題方法，進而通過各種變化得到相應結果.

四、數形結合法

數學是一門“數”與“圖”結合的學科，數字與圖形是相互存在的，二者缺一不可.在解決填空題的時候，學生們也可以采用數形結合，根據題目中給出的條件，在紙上畫出圖形，這樣，抽象的問題就具體生動地展現在眼前了，學生們對解題思路以及解題方法就能夠一目了然了.通常，數形結合的方法適用于不等式、函數方程等涉及圖形的問題，還需要注意的是，學生們在作圖的時候，要根據題目中的數字進行比例縮放，確保圖形與問題的意思符合，不要亂涂亂畫，使得問題更加抽象或者將題意理解錯誤.高中數學填空題只需要給出答案，不需要寫出解題過程，使用數形結合，學生們可以直接在圖形上看出答案，完全不需要再進行復雜的計算，即使需要計算，也會變得很簡單.尤其是在考試過程中，使用數形結合的方法，既能節約時間，也能提高分數，比起埋頭苦算，何樂而不為呢？這類題在高中普遍出現，而且解題方法多樣.endprint

例4設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，在區間[a，b]（a0，且f（x）·g（x）有最小值-5.則函數y=f（x）·g（x）在區間[-b，-a]上的最大值是.

解析f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，

∴y=f（x）·g（x）在區間[a，b]（a

又∵f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，

∴y=f（x）·g（x）是奇函數.

因此，它的圖像關于原點對稱，并且畫出下列示意圖，得出函數y=f（x）·g（x）在區間[-b，-a]上是增函數并且有最大值5.

探究提高這是利用數形結合解決抽象函數問題的題，是一道很簡單的題，但是如果不認真就會得到錯誤的結果，所以在看圖過程中一定要注意這一點.

五、類比法

類比法就是通過由兩類對象具有某些類似的特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的一種方法.

例5在平面內，三角形的面積為S，周長為C，則它的內切圓半徑為r=2SC，類似地，在空間中，三棱錐的體積為V，表面積為S，可得三棱錐的內切球的半徑r′為.

解析題中三角形內切圓的半徑可通過連接圓心和頂點，把大三角形分割成三個小三角形，然后利用等面積法計算得到，類比得出計算三棱錐內切球的半徑可通過分割三棱錐的體積.設三棱錐四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，則V=13S1r′+13S2r′+13S3r′+13S4r′=13Sr′，所以r′=3VS.

六、歸納法

歸納法就是由個別事實總結出一般的結論.

例6過點P（1，0）作曲線C：y=ex的切線，切點為T1，設T1在x軸上的投影是點H1，過點H1，再作曲線C的切線，切點為T2，設T2在x軸上的投影是點H2，…，依次下去，得到第n+1（n∈N）個切點Tn+1，則點Tn+1的坐標為.

解析根據題意，設切點T1為（x1，ex1），則過點T1的切線斜率為ex1，又過點P，T1的切線斜率為ex1x1+1，則ex1x1+1=ex1，得到x1=0，所以T1（0，1）.又H1是T1在x軸上的投影，則H1（0，0）.同理可得T2（1，e），T3（2，e2），以此我們可以歸納出點Tn+1的坐標為（n，en）.

以上，筆者對數學學習過程中的學習方法進行了具體探究，通過對數學課堂學習到的理論知識，根據知識不同情境、不同難度、數形結合狀況、思考的邏輯思路，具體問題具體分析，得出如下結論：對于一些學習思路、思維擴展較簡單的、理論知識容易理解的數學題，可以直接套用公式，采用直接法，將理論與公式結合，通過對數據的計算，得出正確結果；這類習題對學生們數學學習能力的考查較為簡單，是學習生活中最常用的，也是最普遍的學習方法.接下來的特殊轉化法，通常將數學理論知識用圖形、數字排列表示出來，這類習題最常出現在函數知識、立體幾何知識、三角函數等知識時，通過圖形展示，讓知識更為立體、習題理解更透徹、更直觀，為學生們提供明確的解題思路，學生們循著解題思路，解決問題.同時，這類學習方法適用于邏輯性較差但是對于圖像較敏感的學生.構造法，簡而言之就是把復雜的習題用簡單的、直白的語言表示.化繁為簡、化難為易是構造法最常用的學習方法，精煉復雜的公式，利用數學化簡、通分、數據計算等工具，簡化冗長、復雜、字數多，但是數據簡單的、易于理解的長數據公式，將難題構造為簡單題，將短公式延長為長公式，這是構造法最明顯的特色.

填空題是高中數學試卷的必考題，掌握多種解題技巧并且靈活的運用，不但可以降低題目的難度，還可以更快速，更準確地獲取答案.學生們在學習過程中，要不斷地通過教師的講解，打好知識基礎，不斷的運用多種思維技巧來解題，從而提高自己的學習成績.

【參考文獻】

[1]唐榕.填空題的解題策略[J].高中數學，2013（12）：6.

[2]趙敏.淺談發展數學思維的學習方法—數學教學之后的深層思考[J].語數外學習，2013（08）：130-135.