由兩個等邊三角形組合得到的一些思考

孫頡剛

數學是研究數量關系和空間形式的一門學科。“圖形與幾何”在初中數學中地位非常重要，在中考數學中也占有相當大的比重，掌握基本圖形與基本模型是非常有必要的。筆者將兩個等邊三角形組合在一起，通過平面幾何中的平移、旋轉等變換，得到了一些精彩的結論，現與大家做一個交流。

一、基本模型與基本結論

如圖1，點是線段上的一個動點，分別以線段在同側構造等邊和。如圖2，連接交于點與交于點，與交于點，我們可以得到以下結論：

1.全等的結論：

（1）

（2）

（3）；

2.角度的結論：（或）；

如圖3，連接BF，GH，我們還可以得到以下結論：

3.是等邊三角形；

4.BF平分；

5.（可用相似證明）；

二、將圖形“動起來”

1.將繞著點B旋轉，可得如下圖形：

在圖4和5中，都可以通過等式性質證明：

于是通過“SAS”都可以證明：

同時還發現一個重要的結論：直線AC與直線DE所成的銳角始終為60°，這個可以旋轉來說明，即AC和DE是旋轉過程中的對應邊，而旋轉度數為60°，且在旋轉過程中，這樣的關系始終保持不變，所以直線AC與直線DE所成的銳角始終為60°，這是變化中的不變量，命題者只有抓住這些本質屬性，才能更好地去命題。

2.如圖，將等邊△ABC的頂點C與等邊△DEF的頂點F重合，然后將等邊△DEF沿著射線CA進行平移，可得到如下幾個圖形（圖6-9）：

圖7中，我們可以發現兩組三角形是相似的：

（1）（2）

當△DEF平移到圖8位置時，我們有：

當△DEF平移到圖9位置時，我們有：

特別的，當△DEF的頂點D剛好落在邊AB上時（圖10），連接BE，AF，是否有BE∥AF呢？

通過探究，我們發現以上兩個結論在這種情況中都成立，即有以及另外一個相似：

（2）于是進一步思考，如果△DEF有兩個頂點在△ABC的兩條邊上呢（如圖11）？

在這個圖形中，有多少組相似三角形呢？

通過研究，我們發現

所以有多少組相似三角形的問題就變成了一個排列組合問題，當然不要忘了本身的兩個等邊三角形是相似的。

我們進一步將圖形特殊處理，當△DEF的三個頂點分別落在△ABC的三邊上（如圖12所示），且AE=1，AD=2，則DE的長度是多少？

通過上述四組相似的啟示，我們可以進一步得知：如圖13，過點E作ME∥BC交AB于點M，通過構造等邊△AME可證∠AED=90°，于是通過勾股定理可以得到

三、圖形運動中的最值問題

（1）如圖14，設線段AC的長度為，則點B在線段AC上運動的過程中，△ABD與△BEC的面積之和有最小值嗎？

設則

所以當時，面積之和最小為

（2）連接，的外接圓的面積有最小值嗎？

我們知道，外接圓圓心是三角形三邊的垂直平分線的交點，作∠DAB與∠ECB的角平分線交于點O，根據等邊三角形三線合一可以知道，AO和CO其實就是邊DB和BE的垂直平分線，于是可以得到一個結論：在點B在線段AC運動過程中，△BDE的外接圓圓心始終不變，即為點O，OB即為半徑，當OB⊥AC時，即為半徑最小時。

設則此時點B為線段AC的中點：

，所以

四、圖形運動中的其他問題

如圖16，當點B在線段AC上運動時，DM，EN分別是高，那么DM與EN之和是定值嗎？這道題當然可以用代數方法解決，但是我們思考了一種幾何方法，先把圖形補充完整，如圖17所示。

顯然△AQC也是等邊三角形，且過點Q作QH⊥AC，我們猜想，證明三條不在同一直線上和差問題，方法通常采用“截長補短”，這里在借助平行四邊形的性質，即可很快得到答案，證明了我們的猜想，這就是變化中的不變量，也成為壓軸題常考的類型。

等邊三角形具有“中心”，如圖18，找到△ADB的中心O，則在點B從點A運動到點C的過程中，O的軌跡是什么？它運動了多少距離呢？

這里又涉及到軌跡問題，由于篇幅有限，留給讀者自行思考。

以上就是我對由兩個等邊三角形組成的圖形的一些思考，其中包括了很多數學知識、數學概念、數學思想方法，以及中考熱點題型在里面，值得數學老師以及愛好者們共同探討；數學就是一個浩瀚的海洋，有無窮無盡的美麗風景等待我們去探索和發現。