一種任意多邊形面積的計算公式

陳小亮+黃開志

[摘 要] 將任意n邊形分解為n-2個三角形的組合，推導(dǎo)得到了任意平面n邊形面積的一種行列式形式統(tǒng)一計算公式.

[關(guān)鍵詞] 多邊形；面積；矢量

[?] 引言

吳進權(quán)和張達通過研究平面多點的位置關(guān)系得到了凸多邊形的一個面積公式. 李伙穆等人通過將多邊形的“邊”拆開，以“邊”為單元，將“邊”的兩端點與坐標(biāo)原點設(shè)想連接，由“線”、“點”的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為“面”的數(shù)據(jù)，采用初等數(shù)學(xué)方法證明出一個不規(guī)則多邊形面積的計算公式. 羅志強和鐘爾杰由推廣的Green公式建立起重積分與曲線積分的關(guān)系，并用不同思路推導(dǎo)出任意多邊形的面積計算公式，公式在求解任意復(fù)雜的多邊形的面積時與原點位置無關(guān). 宋淮林給出了求解任意多邊形面積的一種方法及在計算機上應(yīng)用的實例. 本文通過將任意n邊形分解為n-2個三角形的組合，推導(dǎo)得到了任意平面n邊形面積的一種行列式形式統(tǒng)一計算公式.

[?] 任意多邊形的面積公式

1. 定理

從上面的證明可以看出，公式（2）和（8）所表示的△A1Ai+1Ai+2面積Si可正可負也可為零，但是在平面右手直角坐標(biāo)系中，只要任意n邊形的n個頂點A1，A2，…，An嚴格按照逆時針順序依次排列，那么公式（1）和（7）所表示的多邊形面積S恒為正，這兩個公式對任意凸和凹多邊形面積均適用.endprint