以“形”助“數(shù)”，突破函數(shù)零點(diǎn)問題

李園園

[摘 要] 借助于函數(shù)圖像來解決函數(shù)零點(diǎn)問題是數(shù)形結(jié)合思想的重要運(yùn)用，本文通過對(duì)一道高考模擬題的深入思考，從變式訓(xùn)練和反向思考中感受數(shù)形結(jié)合的思想，以“形”助“數(shù)”，突破函數(shù)零點(diǎn)問題.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合；以“形”助“數(shù)”；零點(diǎn)問題

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中的重要思想，運(yùn)用這種思想可以解決許多問題.在解決函數(shù)零點(diǎn)問題的過程中，通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，做到以“形”助“數(shù)”，使得代數(shù)問題幾何化，避免了復(fù)雜的計(jì)算，快速解決問題的同時(shí)還鍛煉了數(shù)學(xué)思維.

[?] 母題呈現(xiàn)及思路剖析

思路剖析：

[?] 反向思考以發(fā)散思維

母題中是將兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題，但是對(duì)于某些問題，直接分析函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并不可行. 通過發(fā)散思維，問題需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將求一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，從圖像中直觀地得出兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

[?] 反思?xì)w納

第一，以“形”助“數(shù)”，數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中的重要思想，其本質(zhì)是抽象的數(shù)學(xué)語言與具體化的圖形之間的相似轉(zhuǎn)化. 對(duì)于平面解析幾何中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一直都是高考中的熱點(diǎn)問題，而大部分學(xué)生對(duì)這類知識(shí)的掌握情況并不是非常理想.究其原因，就是不能合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，通過數(shù)形結(jié)合，可以將抽象的問題具體化，通過直觀的圖像就可以觀察出交點(diǎn)的個(gè)數(shù). 例如本文中的三道題，如果想要通過方程思想直接求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，通過高中數(shù)學(xué)的知識(shí)有極大的困難，而通過畫出函數(shù)的圖像，借助于函數(shù)圖像來輔助解題，可以直觀地看出交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

第二，轉(zhuǎn)化問題，事半功倍

數(shù)學(xué)問題的解決離不開轉(zhuǎn)化思想，對(duì)于大部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，如果不知變通而直接求解，一般都無法解決問題.通過轉(zhuǎn)化思想，不但可以解決原來難以解決的問題，還能節(jié)省寶貴的時(shí)間，達(dá)到事半功倍的效果. 例如在母題呈現(xiàn)及思路剖析中，由于兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)無法直接判斷，通過轉(zhuǎn)化思想，將兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題；而在鞏固提高中，將求方程-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，許多學(xué)生想要畫出該函數(shù)的圖像，然后找到圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù). 事與愿違的是，這個(gè)函數(shù)的圖像通過高中數(shù)學(xué)的知識(shí)并不能得出，許多學(xué)生跳不出求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的思維定式，無法解決問題. 如果通過反向思考，將問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此題將會(huì)迎刃而解.endprint