高中數學三角函數的解題方式探討

江小陽

摘 要：對于高中來說三角函數可是非常熱門的知識點，也是高考的熱門考點。它是高中公認的重難點，重要是指在考試中經常出現，而難點則是指它靈活多變，不容易掌握。而正是由于其靈活多變，也造成其解法也多種多樣，常常不會僅局限于一種解法，所以下面就以我的個人見解談談三角函數的解法的幾大歸類。

關鍵詞：高中數學；三角函數；解題方式

三角函數其邏輯性還是比較強的，通過對三角函數的邏輯分析后，不僅可以通透的看待這一類題目，同樣可以活化思維以提高學習效率。以下就是我個人對三角函數題型的一些理解和看法。

一、課本理論推導型

在高中課本中，三角函數包含許多方面的理論推導。即正弦、余弦和正切的公式的推導。還有就是正弦 、余弦和正切的圖像分布以及三角函數與其他知識點組成的混合題型。而有些題目就是我要說的理論推導型，這類題目喜歡迷惑學生使他們找不到要使用的公式或者說課本理論。因此在面對此類題目時不僅需要掌握牢靠的理論知識，還需注意把握主線，這樣不僅能夠鞏固知識點還能提高學習效率，加深對三角函數的理論的理解。

例題：已知α、β為銳角，當cosα=4/5，tan（α-β）=1/3，求cosβ的值。

例題解析：這就是典型的理論題目，但就這道題來說，難度不是很大，他主要考察的還是對三角函數的理論上的理解能力，此題較為清晰的就能看出是對三角函數的公式的理解和運用。那么我們對于這道題的解答就比較明朗了，運用既有的公式對這道題進行解答。

解：根據既有三角函數公式：cosβ=cos[α-（α-β）]

然后對cos[α-（α-β）]展開

得：cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）

又因為已知條件α為銳角，所以得cosα=4/5，sinα=3/5

根據已知條件α、β為銳角，所以得-π/2<α-β<π/2

且根據已知條件tan（α-β）=1/3，所以得0<α-β<π/2

根據以上條件我們可得cos﹙α-β﹚=/10，sin（α-β）=/10，cosβ=/50

思考：從例題1我們可以清楚的感受到這道題反復運用的就是課本上三角函數理論知識的誘導公式和和差公式等。所以這類題目需要對基礎知識的牢靠掌握，熟練掌握各個公式之間的變化，對公式的變化有較為明確的理解。這道題目是為了體現其題型，有些有難度的此類題目，他主要是迷惑學生，讓其困惑找不到要使用公式。所以這類題目它的解題方式就是找到題目的主干，然后分析已知條件，對照課本公式的變化轉到要求解的目標上。這就是此類題目的大致的解題思路。

二、三角函數角度型題型

這類題型的特點就非常明顯，由于大綱要求對三角函數的特殊角度有記憶要求，但是對非特殊角度并沒有記憶要求。所以此類題目就要求學生運用已知角度求解未知角度，通過三角函數的和差公式及誘導公式求得未知角度的解。

例題：求sin10° sin30° sin50° sin70° 的值

例題解析：我們都知道除了其中的30° 是大綱要求記憶的特殊三角函數角度，其余的都是未知的三角函數的角度，若不對未知的三角函數角度進行查表得其值，那么就要求對這些未知角度進行拆分，得出與三角函數特殊角度值相關的變形公式。

首先我們可以先對sin10° sin30° sin50° sin70° 進行變換，將sin公式改為cos公式。所以可得：sin10° sin30° sin50° sin70°1/2cos80° cos60° cos40° cos20°這樣我們就發現cos公式的角度都成倍角關系，自然就想到倍角公式，然而倍角公式sin2α=2sinαcosα，所以我們就需要對該公式進行變形得到cosα=sin2α/2sina，理解貫通這些解題也就非常明了了。

解：sin10° sin30° sin50° sin70°=1/2cos80°cos60°cos40°cos20°=1/16·sin160°/sin20°=1/16

思考：這些角度問題就屬于比較生澀的題目了，因為三角函數的公式比較繁多，所以題目的設計也就多種多樣了。這道題目運用了正弦余弦的轉換和二倍角公式。但是如果學生不嘗試對正弦余弦轉換的話，思路就不能展開，解題同樣就無望了。所以這類題目不僅僅要求學生扎實的基本功，更要求有一定的思維擴展的創新性。

所以，對于高中三角函數來說，對我們最難的就是各種各樣公式進行變換，為什么要變換就是為了化簡原來的公式，簡化后的公式在對應其要求的求解值，我們的思路就非常容易被打開。在這種狀況下，我們對于運用各中公式將問題簡化也就更加得心應手，提高我們的破題的效率，縮短解題的時間，在考試時就能解放出更多的時間來解其他題目。但是有一點我們必須時刻注意，那就是千萬千萬不要審錯題目，一旦審錯題目不僅會浪費時間，還會使自己丈二和尚摸不著頭腦，對題目無從下手。面對題目沉著冷靜，活用多種方式解題，可以有效的鍛煉我們的數學思維能力。

參考文獻：

[1]吳婉君. 現行五個版本高中數學教材三角函數內容的比較研究[D].廣州大學，2016.

[2]劉鳳雙. 高中數學三角函數變式教學的認識研究[D].曲阜師范大學，2016.

[3]王麗娜. 高中三角函數高考試題分析及教學策略研究[D].河北師范大學，2016.

[4]馬文杰. 高一函數教學中學生數學解題錯誤的實證研究[D].華東師范大學，2014.