談數學形式化與非形式化的轉化

曹志棟

【摘要】《普通高中數學課程標準》把“強調本質，注意適度形式化”作為課程的基本理念之一，形式化是數學的本質特征之一，但過度的形式化又會讓學生感覺到數學只是堆積起來的一堆符號，失去了數學應有的應用性質，會導致學生的數學應用意識薄弱，不能抓住數學知識的本質，因此，在數學教學中實現數學形式化與非形式化的轉化是一項頗具難度的工作.本文將結合筆者在教學工作中的體會，提出一些建議.

【關鍵詞】形式化；非形式化；轉化

一、形式化與非形式化

數學形式化是一種用符號或符號的方法或技術來認識數學、表達數學、傳承數學的過程.如，對函數單調性、奇偶性等的定義，通過函數值間的關系去表達，且以后也通過這樣的定義去研究函數的性質便是一個形式化的表達及研究過程.但表達數學內容本質的形式可以是多種的，它未必是符號化的.如，我們也可通過函數圖像隨自變量的變化去認識單調性、通過圖像的對稱性認識奇偶性，另外，我們日常的文字語言也是非符號化的，像這樣的非數學符號的表達，我們都可以稱之為數學的非形式化.

形式化與非形式化都是表達數學的方式，都可以認識數學、表達數學和傳承數學.但形式化更具抽象性，對數學的表達更加準確、簡明、抽象，具有高度的概括性.非形式化更側重于從直觀上表達數學，賦予數學更多的現實意義，在實踐中認識數學、表達數學、研究數學，更加容易被人接受.

在數學的學習過程中是形式化與非形式化并存的，如，上述函數的單調性與奇偶性的定義.數的認識過程中，由數到字母代數，再到高等代數里的矩陣、行列式，抽象代數里的群、環、域，這樣的認知過程本身就具有形式化特征，但在其認識過程中，我們又會涉及一些具體的例子，首先我們在開始階段是由具體的事物的個數認識數的，用字母代數，我們也有過很多的具體例子，高等代數里對某些行列式賦予三角形面積等實際意義，用矩陣研究對策問題等，都賦予了數學實際意義，可以說是個非形式化的過程.

數學的形式化與非形式化是相互促進的，當一種符號系統無法處理現實的問題時，人們便尋求其他的符號系統，那么這個符號系統便是實際要求的產物，如，單調性、奇偶性的定義正是人們對于圖像認識的產物.反過來，這種符號系統又可以賦予很廣泛的意義，解決更多的實際問題，具有更多的非形式化表達.

二、形式化與非形式化的互化

過多的形式化會導致數學變成無意義的符號堆積物，變得非常空洞，失去其內在本質.而失去了形式化，失去了數學的概括性，數學的實體就會變少，數學也就沒有多少非形式化的表達.在教學中如何實現數學形式化與非形式化的轉化，現給出如下建議.

（一）在教學中讓學生將知識系統化，抓住一個體系的實質

集合中的元素、數列里的通項、不等式里的實數大小比較、直線里的方程等都是符號系統里最基本的元素，抓住了這些，就抓住了數學知識的實質，在學生的解題過程中便不會出現沒有思路的情形.另外，除了數學的基本要素之外，還得讓學生明白自己研究了哪些東西，得到了哪些成果，適時地讓學生去應用這些知識，提出一些可供研究的課題，讓學生掌握形式化的知識體系，并把握數學知識的實質.

（二）課堂情境設置要恰當

一個好的現實情境能給一節成功的課開個好頭，讓學生體會數學的實用性，并為了解決此問題而學習本節課的內容，學生便會更多地參與思考，而不只是被動地接受，數學便順其自然地由非形式化進入了形式化.但現實中存在的問題是，有些教師的教學中干脆沒有情境，而有些教師則不管什么題材的內容教學，都要設置情境，有時讓人頗有牽強之感，并且由于教學方法不當，導致學生沒有認識到情境的解決到底需要什么樣的數學知識，失去其情境的目的性，沒有“引入”可言.這里要解決這樣幾個問題：（1）選擇什么樣的情境；（2）教師如何講授情境；（3）學生怎樣能夠進入情境.

總之，在形式化的數學教學過程中，教師要結合自己的生活經驗、知識體系，設置適當的情境，引導學生進入情境，參與思考，最終掌握數學知識，并學會應用數學知識解決問題，在情境的講授過程中還要努力創造輕松、和諧、風趣、愉快的課堂氣氛，滿足學生的情感要求，從而達到提高他們自覺運用邏輯工具分析、解決問題的能力.

（三）注意同一種數學符號的語義轉化

數學符號化、形式化后，每一種數學語義，或者每一個數學概念、關系等一般都有一種確定的數學符號表示.但是，數學的符號表示與數學語義的解釋不是“一一對應”的，一種數學符號可能有多于一種的數學語義解釋，這也構成了數學的符號化、形式化的一大特點.現舉出以下簡單的例子.

① x2+y2代表的意義：

a.x2+y2的算術平方根；

b.點（x，y）到原點的距離；

c.復數x+yi的模；

d.若x，y是正數，x2+y2還表示以x，y為直角邊的直角三角形的斜邊.

② 1的含義：

a.tanπ4；

b.sin2α+cos2α，sec2α-tan2α，cec2α-cot2α，tanα·cotα；

c.logaa；

d.Dirichlet函數自變量取有理數時的函數值；

e.布爾代數里的真值；

f.必然事件的概率；

g.單位向量的模；

h.limx→0sinxx.

在這里要特別注意，在中學數學里用到最多的是數與形的轉化，教師在教學過程中，既要做出這方面語義轉換的示范，又要不斷地提醒學生從不同的角度、用不同的觀點，并從各個不同的側面觀察問題.

（四）注意對不同認知結構的學生實行不同的培養模式

在高中數學學習階段，有些學生分析事物的能力很強，他們在平時的學習過程中更注重縱向思維，注重嚴密的邏輯思維，更喜歡使用數學的嚴密化推理，所以他們解決問題的過程往往比較細致與全面，考慮比較精細，解題的正確率高，但解題的速度比較慢并且死鉆牛角尖，因為他們太注重形式推理，總是認為不嚴密就會導致錯誤，可以說他們的認知結構是偏重分析性的.另一種學生在平時學習過程中更注重橫向思維，更注重合理的觀察、猜想，更喜歡使用數學的非形式化的思考方式，所以他們解決問題的過程往往比較粗糙，有些環節不是很嚴密，解決問題雖然比較快，但他們在進行非形式化思維的過程中，難免會有一些環節由于不嚴密而出現漏洞，可以說他們的認知結構是偏重功用型的.

對于這兩種學生，我們應該采取不同的教育方式，對于喜愛形式化推理演繹的學生，我們應當適當地滲透非形式化的思維方式，以便于他們的思維更簡便，而對于喜愛非形式化思維的學生，我們應當適當地滲透形式化的推理演繹，以便于他們的思維更加嚴密.

三、總結

總之，數學教學要遵循一個不斷“非形式化—形式化”的過程，一個“問題—解決問題—問題”的循環過程，在教學中，應注意引導學生多探討一些為什么，并且弄清楚數學中的“道理”與“意義”，在數學教學過程中反映出數學的創造過程，做到既讓學生理解“證明”，又讓學生學會“猜測”，使學生能“知其然又知其所以然”，最終實現數學形式化與非形式化的和諧統一.endprint