科學選擇例題提高課堂效率

潘敬貞+張應楷

[摘 要] 課堂例題質量的高低直接影響著課堂教學效益，科學選擇例題是高效課堂的基本保證. 文章就一次市性公開課中的例題的兩個爭議（有人認為該題答案解法有問題，有人認為這道例題的選材不當）進行梳理和反思.

[關鍵詞] 例題選擇；課堂效益；回歸分析；爭議；反思

課堂例題質量的高低直接影響著課堂教學效益，科學選擇例題是高效課堂的基本保證.在一次課題為《回歸分析》的市性公開課中，主講教師采用2016年安徽省“江南十校”高三聯考文科數學試題中的一道回歸分析作為本堂課的例題.不少教師聽后，對這道例題產生懷疑，有教師認為該題答案解法有問題，也有教師覺得這道試題的選材不當.本文就這道回歸分析例題的兩個爭議進行梳理與反思，僅供大家參考.

例題：（2016年安徽省“江南十校”高三聯考文科數學試題）第31屆夏季奧林匹克運動會將于2016年8月5日—21日在巴西里約熱內盧舉行. 下表是近五屆奧運會中國代表團和俄羅斯代表團獲得的金牌數的統計數據（單位：枚）

（Ⅰ）根據表格中兩組數據完成近五屆奧運會兩國代表團獲得的金牌數的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩國代表團獲得的金牌數的平均值及分散程度（不要求計算出具體數值，給出結論即可）；

（Ⅱ）下表是近五屆奧運會中國代表團獲得的金牌數之和y（從第26屆算起，不包括之前已獲得的金牌數）隨時間x變化的數據：

（ⅰ）由圖可以看出，金牌數之和y與時間x之間存在線性相關關系，請求出y關于x的線性回歸方程；

幾乎所有學生的解法與參考答案一樣，很多教師對答案的解法表示贊同，但有教師認為這種解法不妥，用這個結果去預測第31屆夏季奧運會中國代表團獲得的金牌數不科學、不合理. 理由是：根據所求的回歸方程求出第31屆中國代表團獲得的金牌數之和的預報值為199.9枚，為什么要直接減去前五屆中國代表團獲得的金牌數之和的實際值，如果前五屆某一屆由于受外界干擾因素比較大，那么這一屆的數據就直接影響著第31屆的預測數據的科學性與準確性. 這樣簡單用31屆中國代表團獲得的金牌數之和的預報值直接減去前五屆中國代表團獲得的金牌數之和的實際值所得結果來預測2016年中國代表團獲得的金牌數說服力就很低，他們給出第二種解法.

[?] 試題爭議

有教師認為時間x（屆）與金牌數之和y（枚）沒有任何直接的相關聯的兩個量，用時間x（屆）與金牌數之和y（枚）的關系進行預測第31屆奧運會中國的金牌數所得結果令人質疑，對這種做法覺得不妥. 他們認為該題與“用某個人的祖父的身高、父親的身高、他本人的身高、他兒子的身高預測這個人的孫子的身高”，“用氣溫與奶茶店銷售量的關系對奶茶店某一天的銷售量進行預測”等有著質的不同，認為命題者在選材時欠缺思考. 也有教師提出質疑，為什么要對近五屆奧運會中國代表團獲得的金牌數進行求和？完全可以直接根據近五屆奧運會中國代表團獲得的金牌數進行求平均數然后進行預測第31屆奧運會中國的金牌數，沒必要采用線性回歸進行預測，如果只是為了講線性回歸而分析選擇此題就有點牽強. 也有人認為，如果對這道題進行改進，由于近五屆奧運會中國代表團獲得的金牌數中的第29屆北京奧運會在自己的國家舉行有很多的有利因素而第31奧運會不在自己的祖國舉辦而是在巴西舉行，故認為直接處理掉第29屆北京奧運會中國代表團獲得金牌數這個數據，這樣既體現數據處理，所預測的結果也更有說服力.

[?] 問題反思

教師們所言不無道理，首先作為市性公開課在選題上盡量不要選擇有爭議的試題，避免偏離主題和出現不必要的麻煩，最好選擇教材試題或高考原題.

對于第一個爭議，兩種解法哪一種解法的預測結果更加科學、合理，筆者認為第二種解法所預測的結果比較合理，即預測今年中國代表團獲得的金牌數為38枚比較合理.認為第一種解法缺乏對線性回歸方程[y] =x+中的斜率的估計值本質內涵的全面理解，如本題經計算得金牌數之和y關于時間x的線性回歸方程為[y] =38.1x-981.2，其中斜率的估計值=38.1，也就是說解釋變量x每增加一個單位預報變量[y] 增加38.1個單位，又由于y表示近五屆奧運會中國代表團獲得的金牌數之和，所以估計第31屆中國代表團獲得的金牌數之和將增加38.1枚，所增加的38.1即為今年中國代表團獲得的金牌數的估計值，故預測今年中國代表團獲得的金牌數為38.1≈38枚. 故認為第二種解法是正確的，所預測的結果也比較科學合理.

∈[0.75，1]就認為這兩個變量具有很強的線性相關關系，此時就可以算它們的回歸方程從而用所求回歸方程進行預測. 從這個角度上說，這堂課上的這道例題是合理的. 但從實際上看時間x與金牌數之和y關聯度的確不明顯，即解釋變量x沒直接影響預報變量y，因此有很多人覺得此題不妥也是有一定道理的.

所以建議在命有關統計試題時在選材時首先要保證所研究的問題本身是一個統計問題，否則會影響學生對統計的認識. 我們要知道統計要考什么，主要考查統計思想，即局部（樣本）推斷整體（總體），具體地講，就是通過搜集數據、整理數據、分析數據和預測（或決策）這個過程，來考查統計思想. 現在高考主要采取建立統計模型（回歸分析模型和獨立檢驗模型）解決實際問題，來體現考生對上述過程的認識，從而考查利用統計思想和統計模型解決實際問題的方法.另外，由于針對隨機現象的考查，所以一般都會與概率結合，因為概率和統計都是以隨機現象作為研究對象，而且都是研究隨機現象規律的學科，只不過概率是對隨機現象統計規律演繹的研究，而統計則是對隨機現象統計規律歸納的研究，所以兩者是具有聯系的. 概率是統計的理論和方法的依據，統計則是概率的應用. 高考解答題則重點圍繞統計進行考查，并通過隨機現象聯系概率，在概率基礎上進一步考查應用，并重點對樣本隨機發生的頻率進行考查.切記，只考查計算，而計算并非是統計的主要內容，只是獲取數據或得到模型而采取的一種手段而已.

獨立性檢驗是研究隨機現象中分類變量之間的關系，如果具有相關性，就可以進一步進行回歸分析. 獨立性檢驗的過程是這樣的：從實際問題出發，先通過條形圖主要等高圖直觀的觀察分類變量之間是否存在明顯的差異，從而初步判斷變量間的關系，在此基礎上，對有明顯差異的情況，再通過列聯表計算K2的值，然后由K2分布得到所求概率，并根據所求概率進行變量關系的判斷. 因此在命題選材時一定注意問題的背景以及可能產生的爭議，盡量回避產生爭議的試題素材，把大家的關注點放在試題所涉及的問題上，問題的分析與求解盡可能體現應用已學知識解決實際問題，提高學生的分析問題和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養.endprint