一道三角題引發(fā)的研究性學(xué)習(xí)

李雪梅+任禮銘+趙思林

[摘 要] 四川省瀘州市高2017級(jí)第二次高考模擬考試（數(shù)學(xué)）第18題是一道三角題，該題能夠激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維，具有數(shù)學(xué)探究價(jià)值. 這個(gè)問題的研究性學(xué)習(xí)，可以從試題的簡評(píng)、立意分析、思路與解法探究、問題的推廣、教學(xué)啟示等角度進(jìn)行.

[關(guān)鍵詞] 三角；研究性學(xué)習(xí)；推廣

四川省瀘州市高2017級(jí)第二次高考模擬考試（數(shù)學(xué)）第18題（以下簡稱瀘州二模題）是一道三角題，該題能夠激活數(shù)學(xué)發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，具有一定探究價(jià)值，是一道具有研究性學(xué)習(xí)的好問題. 本文擬從試題的簡評(píng)、立意分析、思路與解法探究、問題的推廣、解題后的回顧與教學(xué)啟示等方面作一番研究.

[?] 試題呈現(xiàn)與簡評(píng)

瀘州二模題：如圖1，在△ABC中，AB=2AC，cosB=，點(diǎn)D在線段BC上.

（1）當(dāng)BD=AD時(shí)，求的值；

（2）若AD是∠A的平分線，BC=，求△ADC的面積.

簡評(píng)：此題立意鮮明，思路寬解法多，極富思維價(jià)值，具有一定的探究價(jià)值.考試結(jié)果顯示，第（1）問大多數(shù)學(xué)生可以順利完成，得分情況較為滿意.對(duì)于第（2）問，由于題目給出的幾個(gè)條件不在同一個(gè)三角形中，即所給條件比較分散，很多學(xué)生缺乏將已知條件盡量集中或轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中的解題策略，加之許多學(xué)生對(duì)條件“AD是∠A的平分線”的處理缺乏經(jīng)驗(yàn)（原因之一是角平分線的性質(zhì)定理在初中平面幾何中早已不作要求），因而使求解思路混亂而難以下手，有不少考生甚至放棄此問. 由于考生在本題的耗時(shí)比較多且得分率也不太滿意，這說明本題是教學(xué)研究的好素材，教師應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，分析原因，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此題開展研究性學(xué)習(xí).

[?] 試題的立意分析

立意是試題的考查目的.下面從考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法和能力素養(yǎng)等方面分析該題的立意.

1. 考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

本題屬于解三角形的綜合問題，考查了正弦定理、余弦定理、面積公式、角平分線等基礎(chǔ)知識(shí).

2. 考查數(shù)學(xué)思想方法

本題考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論、方程等數(shù)學(xué)思想. 本題一般用三角法解答，此外，還可運(yùn)用平面幾何法、解析法、向量法等方法求解.

3. 考查數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)

該題考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力、問題推廣意識(shí).數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)的核心是思維. 本題對(duì)思維能力進(jìn)行了全面考查，通過對(duì)解題思路的分析，對(duì)解題方法的嘗試與選擇可測試考生的直覺思維能力；通過對(duì)三角形邊長的計(jì)算、三角形面積的計(jì)算等可測試考生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力.

[?] 思路與解法探究

思維心理學(xué)認(rèn)為，發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的核心. 本題具有思路寬闊、解法靈活多樣等特點(diǎn). 本題可以從多種不同角度進(jìn)行分析與探究，可以得到多種解法.

1. 第（1）問的思路與解法探究

（1）思路一：三角法

欲求的值，自然聯(lián)想到正弦定理和余弦定理，因此應(yīng)想辦法將已知條件盡可能地集中到同一個(gè)三角形中.

評(píng)注：運(yùn)用解析法求面積的關(guān)鍵在于正確表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)寫出直線的方程，并利用點(diǎn)到直線的距離公式求出高，進(jìn)而可求出三角形的面積.

[?] 問題的推廣

著眼于培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、研究意識(shí)和創(chuàng)新精神，可著手于問題的拓展與推廣. 問題的推廣是指對(duì)問題進(jìn)行引申、加強(qiáng)與一般化等. 推廣是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力的基本途徑，對(duì)試題的推廣，有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的深化，開拓思維的視野，并能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

推廣1：題干和第（1）題保持不變，將第（2）題的“AD是∠A的平分線”改為“AD是∠A的中線”，BC=，求△ADC的面積.

推廣1將AD是∠A的平分線變?yōu)椤螦的中線，從而等量關(guān)系變?yōu)锽D=DC，即DC=BC，再按照上面的思路方法即可求出△ADC的面積.

推廣2：題干和第（1）題保持不變，若將第（2）題的“AD是∠A的平分線”改為“AD是∠A的高”，BC=，求△ADC的面積.

推廣3：將題干保持不變，若將第（1）問的“BD=AD”改為“BD=λAD”，那么此時(shí)又該怎樣求解呢？

推廣4：將題干中的條件“AB=2AC”改為“AB=λAC”，其余條件和問題都保持不變.

[?] 解題后的回顧與教學(xué)啟示

上面的思路探究與解法運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論、方程等重要數(shù)學(xué)思想，并運(yùn)用了三角法、平面幾何法、解析法、向量法等數(shù)學(xué)基本方法，有效訓(xùn)練了數(shù)學(xué)思維的靈活性、發(fā)散性、廣闊性和創(chuàng)造性.

此題對(duì)教學(xué)的啟示是多方面的：

（1）高三試卷評(píng)講課，應(yīng)重視對(duì)一些得分較低的題目的研究，特別是應(yīng)對(duì)那些富含思維價(jià)值和探究價(jià)值的題目安排一定時(shí)間進(jìn)行重點(diǎn)研究.

（2）應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的教與學(xué)，要讓數(shù)學(xué)解題過程充滿數(shù)學(xué)思想的陽光.

（3）數(shù)學(xué)解題教學(xué)要突出“解題策略”的訓(xùn)練，包括多角度地聯(lián)想，大膽地嘗試（包括添加輔助線，構(gòu)造輔助函數(shù)，建立坐標(biāo)系等），直覺地預(yù)估（估算）等.

（4）數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)重視一般解題規(guī)律的總結(jié).對(duì)于本題，可以提出如下問題：為什么一個(gè)題目既能用正弦定理，又能用余弦定理，還能用勾股定理和直角三角形中的銳角三角函數(shù)來求解？為什么本題能用向量法解答？可以讓學(xué)生知道：正弦定理與余弦定理等價(jià)，用勾股定理和直角三角形中的銳角三角函數(shù)可以推出（即證明）余弦定理，用向量法可以推出（即證明）余弦定理和正弦定理.這是本題能用多種方法解答的數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯.

通過對(duì)這個(gè)二模三角題“一題多解”式的研究性學(xué)習(xí)，即對(duì)問題進(jìn)行思路分析、求解、推廣等探究活動(dòng)，很多學(xué)生對(duì)解三角形問題有了比較系統(tǒng)深入的認(rèn)識(shí). 因此，這道解三角形題目是進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的好素材.endprint