基于教學評一致性的高中數學概念課的設計與實施研究

摘 要：數學概念是導出全部數學定理、法則的邏輯基礎，是數學學科結構的基石，由此可見概念學習在數學學習中的重要性.概念教學是感受概念、認知概念、理解概念、運用概念的一種結合.概念教學的扎實與否直接影響學生對于數學本質的理解程度.本文結合“平面向量的數量積”這一課例的教學設計和實施過程，對高中數學概念課的設計和實施過程中需注意的問題進行了初步的探索.

關鍵詞：課程標準；數學思想；評價任務

2018年4月2日到4月4日，筆者參加了學?！办`智課堂”的賽課活動.《平面向量的數量積》是一節概念課，根據以往經驗，大多數學生對于數學概念的掌握還停留在死記硬背、生搬硬套上，導致基本的數學概念辨析不清，做題時思路混亂，混淆概念、公式，導致解題失誤、學習效率不高，因此筆者在上課之前就在思考：如何幫助學生改變機械記憶概念的學習方式，讓學生通過自己的思考、感悟將新知識變成自己的東西，并逐步養成一種習慣.在磨課的過程中，每一次思路的調整都給教學帶來巨大的啟發，不斷完善筆者對教學的理解，也深刻體會到上好一節概念課的確不容易.

一、設計思路

教師的教是為了促進學生更好地學，因此教學設計要以本節課的課程標準和學生的學情為基礎.向量是溝通代數、幾何與三角函數的重要工具，具有代數的抽象和幾何的直觀兩大特點，對于《平面向量的數量積》這節課，課程標準中明確指出：通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義，能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系等.以課標為依據，結合學生的學情，筆者對教材內容進行了分解，把本節課的重點定為平面向量數量積的含義與性質，難點定為數量積運算律的證明和應用.課標在告訴我們學生要學什么的同時，也在提示我們：本節課我們在知識學習的同時還要注重類比、數形結合和化歸轉化思想等數學思想的滲透和應用，進而幫助學生領悟思路要領，提高學生的數學素養，也體現了數學思想是數學知識的靈魂，是解決數學問題的方法與策略.所以本節課的設計突出明暗兩條線，明線是兩向量數量積的概念和數量積的性質、運算律等基本知識的學習，暗線是向量與實數類比、數形結合和化歸轉化思想等數學思想的滲透和應用.

學生在本節課的學習之前，已熟知了實數的運算體系，并掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功的求法等物理知識，并且初步體會到了研究向量運算的一般方法，具有一定的類比、歸納的能力.在功的計算公式和研究向量運算的一般方法的基礎上，學生基本上能類比得到數量積的概念，但是不能完全探究出運算律和性質.同時，普通班的學生普遍在應用層面上能力有欠缺，在概念的辨析和運算律的應用上會有困難.教師在教學時更需要充分類比實數的性質和運算，讓學生對數量積的概念、性質和運算律有較為全面的認識.

結合課標要求和學生實際情況，本節課的學習目標設計如下：

目標1：類比物理中“功”的實例，能準確說出平面向量數量積的含義.

目標2：利用向量的數量積公式，類比、猜想并推導出數量積的性質及運算律，并能靈活應用它們解決與課本例題同等難度的練習題.

重點：平面向量數量積的定義、運算性質.

難點：平面向量數量積的運算律的證明，平面向量數量積的應用.

教學設計的一些想法：

（一）以問題驅動學生的學習.知識的學習和應用以問題串的形式來體現，每組問題對應一個目標，同時也是該目標達成的評價任務.

以問題1、2的設計為例.

問題1：《克雷洛夫寓言》中有這樣一個發人深思的故事：梭子魚、大蝦和天鵝要把一輛小車從路上拖下來，天鵝使勁往天空中提，大蝦向后倒拖，梭子魚則往池塘里拉，它們都使出了全部的力氣（PPT投影看視頻）.

思考：（1）天鵝、大蝦、梭子魚三者誰對小車做的功最多？

（2）回顧物理學中功的算法：一個物體在力F的作用下產生位移s，如何計算力F所做的功？

（3）將公式中力與位移推廣到一般向量，你能模仿“功”的含義，用自己的語言描述兩向量的數量積嗎？

此環節中，學生觀看視頻后自由發言，教師引導學生說出物理中的求功公式，將學生的思維由特殊向一般過渡，鼓勵學生積極發言，用自己的語言說出對數量積的理解，由教師補充完善，并對概念的細節和注意事項進行強調.

【設計說明】柏拉圖曾說：強迫人們去運動，并不會對身體造成傷害；但是強迫人們去學習，人們并不會把學習的東西牢記在心中.因此在教學中應該避免強迫學生學習，而是激發他們的學習動機，引發他們的學習興趣.當然，在數學教學中，教師不能單純地為了引入而引入，把學生興趣的調動僅僅停留在引入有趣的事物中，而是通過引入先激發學生的學習興趣，再讓學生通過引入發現問題并感受到本節課的知識與他們的生活密切相關，從而感知到學習新知識的必要性和緊迫性.因此，在教學設計上，筆者將課標要求的數量積的物理背景形象情境化，通過天鵝、梭子魚、大蝦的寓言故事引入，化教材中的冰冷的知識為學生通俗易懂的生活經驗和已有知識，讓學生對新概念、新知識的產生有深刻的了解和探索，產生強烈的興趣和學習的意愿，也啟發學生處處留心皆數學.由功的定義抽象出數量積的概念，從特殊到一般，從數的乘法到數量積，引導學生相互交流合作后自己說出定義，而不是機械地死記硬背，同時也體現了類比的數學思想，為后面由實數的運算類比向量數量積的運算的探究奠定基礎.

觀察上述結果并思考：（1）向量的數量積運算的結果是什么？

（2）影響數量積大小的因素有哪些？

（3）數量積何時為正，何時為負？

此環節，教師為每一道計算題指定一名學生回答，引導其他學生糾錯，對于“思考判斷”題則引導學生互相交流，糾正學生自主學習中形成的一些錯誤概念，在辨析中進一步理解概念.

【設計說明】數學問題是數學教學的核心之一，因為只有問題才能引發學生的思維活動，促使學生自主思考、積極探索.但是問題如果太容易或者太難都失去了問題本身的意義，不能激發學生思考的欲望，同時，突兀的問題或者孤立的問題對學生的思維發展幾乎沒有什么作用.本著問題設計要從學生已有的數學知識與生活經驗出發，符合學生的認知規律的原則，以學生的學習能力為起點，把握好問題的深度，并讓問題以“問題串”的形式出現才會引起學生系列的、連續性的思考，學生的思維才能不斷攀升并達到新的高度.問題2的設計有四個目的：（1）及時評價，檢驗學生對向量數量積概念的掌握程度.（2）概念的辨析：類比實數中ab=0a=0或b=0，思考a·b=0a=0或b=0是否成立.引導學生發現向量與實數的不同之處，并總結出兩向量的數量積的大小由兩向量的模長及其夾角的余弦值三者共同決定.（3）根據學生作答情況，可以及時把原題變形進行二次檢測，加深學生對概念的理解.例如：當a·b>0時，a與b的夾角一定是銳角嗎？（4）為后面問題3中對向量數量積的性質的探究做鋪墊.

（二）從學生最熟悉的知識出發，充分運用類比的思想方法.以問題3、4為例.

教師類比實數，拋出相應的向量式，引導學生從數量積的公式出發，小組合作討論各式的正確性，教師巡視并給予部分學生引導提示，十分鐘后小組進行結果匯報，教師對小組討論的結果加以點評和鼓勵，并對數量積的性質和運算律做總結.

【設計說明】（1）數學教學的重要任務是提高學生的數學解題能力，知識的習得也是為了解決問題而服務的，數量積的運算結果是數，數的運算有運算律，因此數量積的運算是否沿襲了實數的運算律是學生需要思考的問題.充分類比實數的運算，比如在實數中有ab=ab以及a+bc=ac+bc恒成立，類比討論向量中a·b=ab與a+b·c=a·c+b·c是否仍成立.教師這樣做可以讓學生對數量積的性質和運算律公式本身沒有陌生感，進而引導學生在現有知識能力條件下，結合問題2對數量積的運算律進行辨析，通過小組討論交流逐步探究出數量積的性質、運算律.其中在分配律的證明中由數量關系出發，問題依然得不到解決時，教師可引導學生從圖形的角度入手，滲透數形結合的數學思想.（2）在分組對數量積的性質和運算律進行討論和分析的環節中，學生可以擁有充足的時間進行主動發現和探索.讓學生都積極參與到課堂活動中，參與知識的產生、發展過程，這不僅能夠使學生對知識的理解更加深刻，為后面的應用做好鋪墊，而且于潛移默化中培養了學生的合作能力和動手能力.同時，從問題的產生到解決的過程能有效增加學生的學習信心，讓學生收獲學習的成就感，提高學習興趣.

（三）評價任務的設計要承前啟后，既是對本節課知識和能力的檢測，又能為后續知識的學習做好鋪墊.以例1和課后作業的設計為例.

【設計說明】此環節主要是針對學生的學習成果進行隨堂檢測，及時發現學生存在的問題，針對不同層次的學生給予針對性的教學設計.評價任務要與目標對應，其中，例1及其變式的設計對應目標二，例1的設計是為了檢測學生對數量積運算律的掌握程度；變式1，2的設計是為了考查學生能否正確運用數量積的性質求模長和夾角；變式3是在本節課之前學習向量的加減運算時做過的題，當時采取數形結合的方法處理，在這里要求學生利用本節課所學知識求解，是為了引導學生一題多解并加強數形結合的解題思想.

（四）檢測與反饋（課后作業）

學生對教師布置的作業及時完成，獨立思考解決課后習題，同時，教師對檢測反饋進行批改，根據學生的反饋情況及時改變教學重心，落實學生的訂正總結.

【設計說明】檢測反饋部分3，4，5，6對應目標一；檢測反饋部分1，2，5，6對應目標二.教師通過設計與本節課重難點相對應的題，讓學生理解相應的考點和題型，培養學生形成及時歸納和反思的學習習慣，同時，評價任務也要注重知識的融合和延伸，例如檢測反饋部分拓展題.

二、課后反思

《平面向量的數量積》課后的幾點思考：

1.知識的學習首先從概念開始，知識的獲得過程需要學生去感知、觀察、體驗、總結，在新課的設計中我們要注重引入的過程，要讓學生感受到知識的形成過程是一種自然而然又水到渠成的過程，這就需要我們在進行教學設計時，以課標為依據，結合學生的學情，合理分解教材，用教材教，而不是教教材，對每一個教學環節反復琢磨、認真推敲.

2.教師是學習的引導者，學生才是課堂學習的主體，合理的教學設計是必需的，但我們在教學過程中不僅僅要關注課的設計，更要關注教學設計是否促進了學生的學，進而鼓勵學生自主探索、自主學習，確保學生在課堂上的主體地位，盡可能地讓所有學生都能主動參與，真討論問題，討論真問題，從而提出各自解決問題的方案，并引導學生在合作交流后選擇合適的策略，讓學生切實體會到自主探索數學的規律和解決問題的方法是學好數學的有效途徑.

3.在教學過程中，充分利用“舊知識”與“舊知識的形成過程”，既能及時復習所學知識，又能利用它探索出新的知識，這個過程既有助于學生獲得新知識并體會到知識之間的聯系和變化，又在無形中改善和培養學生的學科思維方式，提升學生的思維能力.

三、評課部分

毛偉東老師的評課：

本節課的教學設計思路清晰，重點突出，設計精巧.通過本節課的學習學生不僅知識得以發展，而且思維能力得以提升.

具體表現為以下幾方面：

1.本節課通過天鵝、梭子魚、大蝦的寓言故事引入，以一個問題情境帶領學生走進課堂，此問題引導學生回憶物理中的求功公式，通過觀察公式的特征，運算對象與運算結果的不一致使學生產生認知沖突，并引發學生的好奇心、求知欲，接著教師通過引導推動問題進一步探究，順利抽象出數學中數量積的概念，達成目標一.新課引入方式簡短精密、巧妙自然，既激發了學生的興趣，又啟發學生處處留心皆數學.前有引入，后有呼應，故事完整，既有知識，又有引導，有德有育，充滿正能量.知識生成自然流暢，合情合理，從W=F·s到a·b，從數的乘法到數量積，從數的運算性質到向量的運算性質，過渡自然，新知識的產生與理解都來得自然，充分考慮了學生的最近發展區與知識間的聯系.定義講解簡單明了，從特殊到一般概括定義，用具體例題感知定義，用不同問題辨析定義，每一步都有巧妙的構思.

2.“問題驅動”教學，從學生的認知結構出發，以問題為主線，啟迪學生思考，使學生通過學習能深刻感受發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的整個過程.通過問題驅動各個環節的教學，所拋出的問題串，既能啟發學生思考，同時又緊緊圍繞學習目標，環環相扣，層層推進，整節課學生始終在認真聽講，積極討論.問題問得有分量，總能喚起學生的思考，激起學生思維的火花，師生互動、生生互動，學生在課堂上情緒高漲，思維活躍，發言積極，充分展示了學生獨立思考、自主學習的能力，活躍的氣氛也給課堂教學增添了靈動性.問題問得有意義，數學思想貫穿始終且不動聲色，分類討論、化歸轉化、數形結合、類比推理等數學思想與方法經常用到.在數量積的性質和運算律的探究上，采用了“啟發—探究—討論”的教學模式，精心設計每一個問題，給學生充分的思考、創造、表現的機會，有利于突出重點，突破難點，最終完全歸納出數量積的性質和運算律，達成目標二.由此看來，授課老師是一個有思想的人，不僅講解知識，更有思想的潛移默化.課堂教學中，重視基本知識的生成與發展，在關注知識的產生、發展的過程的同時也貫穿了知識、思維、情感三維一體的學生發展觀念.從定義的產生與理解，從性質的產生與理解，從運算律的產生與理解，證明不是一筆帶過，而是“濃彩裝扮”，體現了概念的地位，為學生后續的學習與發展奠定了基礎，對概念的辨析、性質和運算律的證明也是在解決問題.整個課堂的每一個環節都構成了“問—學—論—用”的學習流程.如對于數量積的正負與兩向量夾角的關系的辨析，通過具體實例的計算、命題真假的判斷，像抽絲剝繭一般逐步引導學生更深入地理解數量積的公式.這種方式既增加了學生的思維量，調動了學生主動思考的積極性，又對學生的知識把握進行了強化，體現了知識、情感、思維的三維一體.教學方法上，注重啟發性和針對性.

3.作業的設計緊扣本節課的重點，體現了基于教學目標的測評，可以考查各種層次的思維發展水平，尤其最后一個拓展題，把向量與函數巧妙結合在一起，能提高學生的綜合知識運用能力和探究能力.總之，作業的設計使知識得以升華，技能在作業中得以掌握，思維在作業中得以發展，能激發學生更高效的學習，并讓他們在完成數學作業的過程中獲得成就感，從中享受學數學、用數學的快樂.

4.縱觀本節課，兩個線索平行生長，明線是知識的發生發展，暗線是思維的發生發展，知識是載體，思維是主角.學生不但學會了知識，而且懂得了發現問題、研究問題、解決問題的路徑與方法，體現了授課老師從不同層面、不同角度對教材文本進行思考、挖掘，著眼于促進學生運用已有知識經驗分析問題、解決問題能力的提高.從學生行為舉止、面部表情、討論的熱烈程度，都可以看得出學生參與課堂學習的廣度和深度是足夠的，對目標的達成是積極有效的.

建議：

1.在引導學生通過類比物理中的“功”得到兩向量的數量積的概念時，太過于引導學生關注概念的生成，而忽略了概念本身的細節，比如：數量積也稱為“點積”或者“內積”，導致學生也會忽略這個問題，作為一個重要的細節沒有被教師點撥到，給學生以過眼云煙之感.

2.學以致用，在本節課的設計上，教師設計了例題1，并針對例題給出三個變式，借助例題及其變式幫助學生體會本節課的內容如何應用以及怎么用.但是在前面引導學生探究數量積的運算律時花費的時間太長，例題的變式沒有完全講到，導致學生的隨堂練習太少.建議在今后的教學中，合理分配各個教學環節的時間，同時要盡量減少無關性問題，讓教學語言更精當、簡潔，提高課堂效率，讓學生在掌握知識的同時，保證適當的課堂練習.

參考文獻

[1]易中建.數學教學應堅持的“基本原則”[J].中學數學教學參考（上），2016（1-2）：38-41.