通過數學思想的滲透發展學生的數學思維

摘要：“數學思想”正式作為《數學課程標準（2011年版）》的基本目標之一，被廣大數學教育工作者所關注。但數學課程所蘊含的數學思想有哪些？哪些數學思想更適合在小學階段學習？在課堂教學上如何向學生滲透數學思想，培養并發展學生的數學思維？這些問題都是教師必須了解、認識與解決的，并且具有一定的研究價值。文章以北師大版五年級上冊《分數的再認識》的教學為例，就以上問題進行了逐一闡述。

關鍵詞：小學數學；課堂教學；數學思想；數學思維

一、挖掘數學知識背后的數學思想

數學概念、規律、性質、法則、公式等都比較明顯地出現在教材內容或教學用書中，這些都是“有形”的知識；而數學思想則是隱藏在這些知識的背后，它是“無形”的知識，需要教師將其挖掘出來，使其明朗、清晰起來，并能行之有效地滲透到數學課堂教學過程中。這就需要教師在理解課標的基礎上，全面、系統地把握教材的編寫意圖，深刻挖掘隱藏在知識背后的數學思想。

（一）數學思想的分類

顧沛教授在《義務教育數學新課標的理念及案例解讀》中明確指出數學的基本思想主要可以有以下這四大類：數學抽象的思想、數學推理的思想、數學模型的思想、數學審美的思想。由這些數學的基本思想演變、派生、發展出來的數學思想還有很多。例如，由“數學抽象的思想”派生出來的：分類的思想、集合的思想、“變中有不變”的思想等等；由“數學推理的思想”派生出來的：歸納的思想、演繹的思想、數形結合的思想等等；由“數學模型的思想”派生出來的：簡化的思想、量化的思想、優化的思想等等；由“數學審美的思想”派生出來的：簡潔的思想、對稱的思想、統一的思想等等。

（二）小學階段最常見的數學思想

“數學思想”眾多，在小學階段不要求一一滲透。在小學階段最為常見的數學思想主要有數形結合思想、符號化思想、分類思想、集合思想、對應思想、歸納思想、演繹思想、類比思想、轉化與化歸思想、模型思想、函數思想、方程思想、代換思想等。其中，“數形結合”的數學思想和“演繹與歸納”的數學思想在小學階段的數學學習中尤為突出。

“數”和“形”是數學中最基本的兩個概念。因為小學生主要以直觀的形象思維為主，所以“數形結合思想”特別適合教師在課堂教學中去呈現、去滲透，并使其貫穿于整個小學數學知識體系中。歸納的數學思想就是從個別現象出發，抽象出共性，總結出一般的結論；而演繹的數學思想就是從普遍性的理論知識出發，去認識個別的、特殊的現象。“演繹”與“歸納”這兩種數學思想是相互依存，密切聯系，不可分離的。教師常在課堂教學當中，利用“歸納”預測數學結果，利用“演繹”驗證數學結果。

（三）分析教材，挖掘教學內容中的數學思想

由于教材是按照學生的認知特點和知識發展系統編排的，數學思想則是采用蘊涵的方式融于數學知識體系當中，因此，數學思想的教學是零散、不系統的。這就要求教師在課前要充分考慮學生的認知水平和教學內容在整個知識體系的地位、作用，分析并挖掘教學內容所隱藏的數學思想。

如：分數的認識是“數與代數”中的一個重要內容，而北師大版五年級上冊的》《份數的再認識》不是初步認識整體“1”，而是對整體“1”的進一步認識，是讓學生在具體的情境中，通過操作活動，體驗到“整體不同，相同分數所表示的具體數量也不相同”，進而感知分數與其具體數量之間的對應關系，獲得對分數的“整體”與“部分”理解，為進一步學習分數，運用分數知識解決實際問題打基礎。而在這整個過程中就隱藏了演繹與歸納的思想、數形結合的思想、代換的思想、分類的思想、符號表示的思想、對應的思想、“變中有不變”的思想、特殊與一般的思想等。

（四）分析學生。選擇適合在課堂教學中滲透的數學思想

小學生的思維是以具體形象思維為主要形式，逐步向以抽象邏輯思維為主要形式過渡，但他們的抽象邏輯思維在很大程度上仍是直接與感性經驗相聯系的，具有很大成份的具體形象性。

《份數的再認識》是北師大版五年級的教學內容，五年級的學生已初步形成了一定的學習態度，隨著主體意識的覺醒，自我意識、自我主張、自我控制能力的進一步加強，觀察能力、想象能力、動手操作能力、分析理解能力、求知的欲望等也在進一步增強。根據學生的這些認知特點，結合教材編排的具體教學內容，確定在教學《份數的再認識》的過程當中，教師可重點選擇“演繹與歸納的思想、數形結合的思想、分類的思想”對學生進行滲透，更好地促進學生數學思維的發展。

二、制定有效的、富有數學思想的教學案

備課是教師的一項最基本又至關重要的工作。在備課時制定詳實、有效的教學案為教師在課堂教學過程中的順利前行提供了有力的保障，而教師希望能在課堂教學中向學生滲透相關的數學思想，有意識地培養并發展學生的數學思維，那就更需要在課前制定好有效的、富有數學思想的教學案了。

下面，筆者以北師大版五年級上冊的《分數的再認識》一課為例，談一些具體的做法。

（一）在教學目標中，體現數學思想

“教學目標”的制定是課堂教學的前提，是實施教學的重要環節之一。一節課的成敗取決于教學目標的確定是否全面、準確、具體并符合實際，而在目標中體現數學思想，對于教師是否能在傳授知識的過程中對學生進行相關的數學思想的滲透，就起了決定性的作用。因此，上課前筆者查閱相關資料了解教材的地位與作用，分析學情，從而制定了以下教學目標：

1.在具體的情境中，感知“整體”與“部分”的關系，進一步認識分數，發展數感。

2.引導學生經歷觀察與實驗、猜想與推理、概括與抽象等一系列具體的活動過程，掌握知識，訓練技能，獲得歸納、演繹、數形結合、分類等數學思想的體驗，積累一定的數學活動經驗。

3.體會數學與生活的聯系，感受數學的價值，樹立學好數學的信心，培養實事求是的科學態度。

在這個教學目標中，不僅確立了知識技能、數學思考、問題解決、情感態度這四個方面的目標，也明確了本課應向學生滲透的、學生應該感悟的數學思想有哪些，為課堂教學的實施起到了導向性的作用。

（二）在教學過程中，滲透數學思想

教學過程即課堂教學活動的程序，只有重視教學過程，把教學過程設計得具體、科學，學生才能夠自主學習，交流探究出一個知識結論。這樣，學生在獲得知識結論的同時，對數學思想的感悟才準確可靠、豐富多彩、新穎別致，對培養學生的數學思維，提高創新能力具有重要作用。例如，在解決“由部分還原整體”這一知識點時，筆者先出示一個圖形的，然后讓學生通過小組合作，在白板上擺圖形。學生展示作品并解釋。最后小結發現：一個圖形的四分之一所對應的部分是一塊小方塊，原來的圖形就是四個這樣的方塊，與它的形狀無關。

這一環節的設計是已知部分求整體，進一步加深學生對分數中“整體”與“部分”關系的理解，對學生進行了“逆向思維”訓練，滲透了合情推理、數形結合的數學思想，使學生積累了數學活動經驗，提高了數學思維能力。

（三）在練習反饋中，突顯數學思想

課堂練習是學生反饋、調控教學過程的實踐活動，它的目的不僅僅在于幫助學生鞏固所學數學知識，提高運用數學知識的能力，更應能在此過程中有效地滲透相關的數學思想，挖掘學生學習的潛力并讓其成為激發學生前進的動力。

富有靈魂的數學課堂不僅教給學生知識，而且注重數學思想的滲透，學生只有插上“數學思想”的翅膀，分析、解決問題的綜合能力才能大大提高，學到的才是真正的數學，才有可能自由翱翔于“名師指路，不如自學自悟”的理想藍天里。為此，教師在課堂教學中，既要重視學生對知識獲得的過程，也要重視學生數學思維的發展，適當、及時地滲透數學思想，全面提高學生的數學素養。