教學“鋼管堆放”之所想

賀 群

(合肥市虹橋小學 安徽合肥 230001)

五年級“多邊形面積計算”單元中有一道“鋼管堆放”題，題目如下：小明參觀鋼鐵廠時看到許多鋼管堆成如下形狀：最上層有9根，最下層有16根，共8層。可以用什么方法算出這堆鋼管一共有多少根?它和梯形面積的計算方法有聯系嗎?

這是一道傳統的數學題，在我上小學時就有這一題，依稀記得當年老師說鋼管的橫截面是梯形，所以求鋼管的根數就用梯形的面積公式。沒有更多的思考，也就沒有更多的疑問，當年的我只是記住了解這題的方法，能求出正確的答案。今天成為數學老師的我，再拿起這題仔細一看，才發現沒有這么簡單。鋼管堆放時下面每層都比上面一層多放一根，堆成的橫截面近似梯形，但這里是求鋼管的根數，其實是求9+10+11+…+16這樣一個等差數列的和。它與梯形面積公式是如何聯系起來的呢？如何站在小學生的角度，根據小學生現有的知識結構引導他們理解這個問題呢?我翻閱著教師參考書，書上沒有這樣的解答，我陷入了思考……

課堂上我一出示這道題時(前一天已布置學生預習)，就有學生舉手回答說：“(9+16)×8÷2=100”。再問他：“你是怎么想的?”他說：“因為鋼管堆成了梯形，所以就用梯形的面積公式來算。”我又問：“贊成他的想法嗎?”學生們都說贊成。“有沒有不同的想法或者疑問?”同學們沉默了。

我接著引導：“這題是求鋼管的根數，而梯形的面積公式是用來求面積大小的，這鋼管的根數怎么就可以用梯形的面積公式來求呢?”我環顧教室，只見管元昊站起來說道：“我們可以把一個鋼管的橫截面看成占一個方格，那整個鋼管橫截面的格數就是一個梯形，這個梯形的面積占多少格，就說明鋼管有多少根。”“說得太好了，所以鋼管的根數就是梯形的面積。”我由衷地贊道。我明白他的意思：占一個方格就是指一個面積單位，我們計算一個平面圖形的面積正是計算它含有多少個面積單位。

“如果我們繼續照這樣往這堆鋼管上再添加鋼管，直到最上面為一根鋼管時，這堆鋼管有多少根呢?”我一邊拋出了新問題，一邊出示完整的鋼管橫截面圖。

“還是用梯形的面積公式來求，(1+16)×16÷2=136。”“不對，這個圖形是三角形，所以應該用三角形的面積公式：底乘高除以二，16×16÷2=128。”兩名學生爭論起來。

“到底誰說的對呢?請你們用自己的方法驗證一下。”

“老師，我數了一下，上面增加了36個，加上原來的100個，一共是136個，應該用梯形面積公式來求。”

“那，還有什么問題想提出來嗎?”我問。“老師，為什么橫截面是三角形而卻用梯形面積公式計算呢?”“是啊，這是為什么呢?”我把球又踢給了學生。不一會兒，薛前進站起來說道：“最上面的這一根鋼管可以看作占一格，那這個橫截面就是梯形，而不是三角形。所以應該用梯形面積公式來計算。”

“是啊，1+2+3+4+…+16是個等差數列，發現數字之間的規律了嗎?這樣的算式我們可以模仿梯形面積公式來計算，看看算式中的哪些數相當于梯形中的上底、下底和高?”同學們比較著、思考著、討論著……

“著名數學家高斯小時候上學時，老師有意出了這樣一道數學題：1+2+3+……+100=?，來懲罰不守紀律的學生，沒想到幾分鐘后高斯就報出了正確答案，你們知道他是怎樣算的嗎?”“我知道、我知道！”學生們紛紛叫道，“他就是用梯形面積公式來算的，用第一個數加上最后一個數，然后再乘所有數的個數再除以2得來的，(1+100)×100÷2=5050。”

至此，鋼管堆放問題順利解決，學生們不僅弄明白了鋼管根數和梯形面積的關系，還舉一反三弄明白了等差數列的計算方法。

回想教學開始，當學生們都認為計算鋼管的根數就是求梯形的面積時(可能受到問題的暗示：它和梯形面積的計算方法有什么聯系嗎?還可能從書上給出的鋼管的橫截面是梯形，就會不假思索、想當然地認為求鋼管的根數就是求梯形的面積。)我提出問題：“有沒有不同的想法或疑問?”以期引起學生對問題進行深入思考。學生仍沒有反應，我接著追問：“這題是求鋼管的根數，而梯形的面積公式是用來求面積大小的，這鋼管的根數怎么就可以用梯形的面積公式來求呢?”這個問題的解決正是溝通了等差數列和梯形面積的關系。在我的精心預設下，出現了精彩的課堂生成：管元昊說計算平面圖形的面積，就是計算平面圖形中含有多少個面積單位，從而遷移到一個鋼管橫截面就是一個面積單位，有多少根鋼管就有多少個單位面積，很好地解釋了鋼管根數和梯形面積的關系。如果我在備課時，沒有深入地思考這些問題，認真地領悟編者的意圖，是不會提出這樣有價值的問題的。及至后來學生的發現：當鋼管的橫截面堆成三角形時，計算鋼管的根數仍用梯形面積公式，因為這個橫截面看似三角形實際仍是梯形。再由求鋼管根數到高斯的數學題，一步步地將問題引向深入，教學由生活化到數學化，由具體到抽象，學生的思維能力也一步步地得到提升。由此我體會到：精心地備課、精心地預設是教學成功的重要保證。沒有精心的預設就沒有精彩的課堂生成。

鄭毓信教授說：“通過深入揭示隱藏在具體數學知識背后的思維方法，可以把數學課真正‘講活’‘講懂’‘講深’：通過方法論的重建，我們可以向學生展現‘活生生的’數學研究工作，而不是死的數學知識，這就是所謂的‘講活’；還可以幫助學生真正理解有關教學內容，而不是囫圇吞棗、死記硬背，這就是‘講懂’；我們在教學中又不僅使學生掌握具體的數學知識，而且也能幫助學生逐步領會乃至掌握內在的思維方法，這也就是所謂的‘講深’。”數學是思維的體操，數學教師要把握數學教學的實質，數學教學應姓“數”，數學教學離不開數學思維。那種只求學生會做題、做對題的想法是不全面的、狹隘的，長此以往，學生就會養成不求甚解，只知其然而不知其所以然，不利于學生養成數學思維。在數學教學中努力提高學生的數學思維水平，是我們數學教師孜孜以求的重要教學目標。