一題多變天地寬

陳華萍

摘 要：數學題目千變萬化，唯有問題的本質亙古不變。在數學教學中，數學教師應該高屋建瓴，引導學生積極進行一題多變的研究，在探究中揭示問題的本質，從而習得豐富的解題經驗。

關鍵詞：一題多解；一題多用；揭示本質

一題多變，可以激發學生創造性思維，從而進行有計劃的探究，進而揭示數學問題的本質，達到事半功倍的教學效果。

一、 一題多解，拓寬思維。

一題多解是多角度、多側面地思考分析數學問題，通過縱橫發散，探求不同的解題途徑。

例如：甲、乙兩人同時從李村出發，步行去王莊，5分鐘后，甲返回李村取筆，沒有停留繼續步行去王莊，恰與乙同時到達王莊，如果從兩人同時出發開始起計時，那么，35分鐘后兩人同時到達。已知甲每分鐘所行路程比乙每分鐘所行路程的2倍少30米，求甲、乙兩人的速度各是多少？

解：設乙每分鐘行x米，則甲每分鐘行（2x-30）米。

解法一 在路程上選一個量（李村到王莊的路程），用兩種方式進行表達，得：

35（2x-30）-2×5（2x-30）=35x，

或（35-2×5）（2x-30）=35x

解法二 在速度上選一個量（乙的速度），用兩種方式加以表達，得：

x=35（2x-30）-2×5（2x-30）3×5

解法三 在時間上選一個量（甲全程所用35分鐘），得

35=35x+2×5（2x-30）2x-30

通過對本題多種解法的探究，不僅復習了行程問題里的速度、時間和路程之間的關系，而且培養了學生通過縱橫發散思維多角度思考數學問題的習慣，揭示了行程中的數學本質。

二、 一題多變，提升思維品質

（一）轉化題設或結論

通過轉化習題的題設或結論，并結合問題的內涵與外延進行深入與擴展，從而得到一類變式題組，發展數學解題的思維深度。

比如：在Rt△ABC中，當∠C=90°時，則 c2=a2+b2.（勾股定理）

變換1：當∠C不是90°時，c2=a2+b2仍成立嗎？如果不能成立，a，b，c三邊又成何關系呢？

變換2：已知所有符合a2+b2=c2的正整數解即為一組勾股數，如：3、4、5，5、12、13，9、40、41，…那么是否存在正整數a，b，c，使a3+b3=c3呢？

（二）變換設問方向

針對綜合性較強的數學問題，引導我們將其分解為幾個基本問題，通過對基本問題的求解，逐步達到解決問題的目的，從而培養思維的批判性和深刻性。

例如：已知點P（a-2，a2-4）在x軸負半軸上，求點P坐標。

變換1：已知點P（a-2，a2-4）在第二、四象限的角平分線上，求點P坐標。

變換2：已知點P（a-2，a2-4）在直線y=2x+3上，求點P的坐標。

變換3：已知點A（-3，m）、B（n，4），若AB∥x軸，求m的值并確定n的取值范圍。

三、 一題多用，打開視野

有時一個求解思路、解題規律可以適用于一系列看似問題差異很大的題目求解。

例如：（1）下列圖1中各有幾條不同的線段？從中你能發現什么規律？

（2）如圖2，已知∠AOB是銳角，以點O為端點向∠AOB內部作一條射線，則圖中共有多少個角？若作兩條、三條射線有多少個角？若作n條射線時有多少個角？畫一畫，你能發現什么規律？

（3）觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角）與鄰補角：

①圖3（1）中共有 對對頂角， 對鄰補角；

②圖3（2）中共有 對對頂角， 對鄰補角；

③圖3（3）中共有 對對頂角， 對鄰補角；

④研究①～③小題中直線條數與對頂角，鄰補角對數之間的關系，若有n條直線相交于一點，則可形成 對對頂角， 對鄰補角。

以上一系列問題的解決，打開了學生解題的視野，培養了學生建模思想和題目整合能力。

數學題目千變萬化，唯有問題的本質亙古不變。在數學教學中，數學教師應該高屋建瓴，引導學生積極進行一題多變的研究，在探究中揭示問題的本質，從而習得豐富的解題經驗。endprint