數學中的“變”與“不變”

尚飛

我從人教版數學六年級下冊的《整理復習》關于“數的運算”中，挖掘出了一節“特別的數學課”，想通過這節課的教學，來強化學生從千變萬化中尋找不變規律的意識，進一步感受數學萬變不離其宗的神奇之美。

數學教學應該給予學生什么？我想，不僅僅是知識與能力，更應該是一種眼光，即數學的眼光。這節課中我們就一直在培養學生的數學眼光——從變化中尋找不變。

特別一：“乘法分配律”的變與不變

要說“變化”，“數的運算”中乘法分配律最具有代表性，是最靈活的，很多看似非乘法分配律的形式，需要仔細觀察分析后，才能轉化成乘法分配律的基本形式。這節課就以“乘法分配律”的變化為主體，讓學生充分感受數學的千變萬化而又萬變不離其宗的特別之處。

1.前置小研究——匯聚豐富的變式題

根據乘法分配律計算公式，你能想到哪些相關例子？試著寫一寫，畫一畫。

【設計說明】前置小研究的設計意圖就是想讓學生從不同角度提供豐富的例子，通過觀察找到它們的共性。

2.借助幾何圖形直觀理解變式題中的abc

（a+b） ×c=ac+bc

學生通過大量的感知后，丁莉同學提出：“我還可以利用面積圖來解釋乘法分配律”，于是出現了上圖。接下來，孩子們便結合圖例解釋乘法分配律：

呂佳晨：對于75×101-75這個算式，我是利用算式的意義來思考的，101個75減去1個75，等于100個75。

郭欣宇：這里其實就是把75看作75×1。

現在就是把整個長方形的長看作b，即101，它的面積是101×75，那么a就是1，即這部分的面積是1×75，它們相減后就變成長是100，寬是75的長方形面積，即100×75。

郭欣宇：

剛才大家分享的都是兩個計算的，我這道是三個的。3.87個減去0.87個，再加上1個。可是我這個算式用黑板上的面積圖解釋不了。

師：那你來自己畫圖解釋。

郭欣宇邊畫邊結合自己的算式向大家解釋含義。

郭欣宇：只要找準不變的c就好。這里不變的c是，最后算的就是3個加上1個。不管括號里是兩個數還是三個數相加減，萬變不離其宗，都能找到乘法分配律的影子。

只要找準不變的c！

這樣，學生借助幾何直觀圖，通過分析大量例子后發現：看似變化萬千的非乘法分配律都有一個共同的特點，那就是總有不變的c，即寬。所以在后面的學習中，學生看到題自然而然地就會先聯系面積圖，找不變的c。

最后有學生說：“原來我們認為的最易混淆的乘法分配律，好簡單！”這樣學生就初步體會了從數學千變萬化的現象中，抽象出其不變的本質。

【設計說明】幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱2011年版課標）的十個核心概念之一，也是新增加的核心詞匯。本課基于課程標準的要求，即通過學生借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，提高對數學的研究對象（即空間形式和數量關系）的直接感知、整體把握的能力。所以本課以面積圖形與乘法分配律的運算對接為暗線，不斷強化學生對不變量的把握，進一步培養學生的幾何直觀。幾何直觀既符合學生的認知需要，又利于學生對自己的變式做出直觀清晰的解釋，更能突出萬變不離其宗的“宗”。

3. 乘法分配律在多位數乘法豎式中的運用

仔細回想，我們口算乘法、筆算乘法的算理都是在使用乘法分配律。所以課上在大家都沒有其他類型題能列舉時，劉緣同學站起來說：“其實在我們以前學習的筆算乘法中也能找到乘法分配律。比如：25×24=25×4+25×20，這里4個25加上20個25，就是24個25。”

2 5

×2 4

1 0 0

5 0

6 0 0

【設計說明】當孩子們發現乘法分配律與筆算乘法的關系時，在大量感知的基礎上，又有了幾何直觀的深刻表征，孩子們恍然大悟，原來我們曾經認為的難點就在我們日常的計算中。當把這些知識貫通后，會潛移默化地影響學生對數學的態度：數學并不難，它的背后有簡單的道理。此外，也使學生深入感受乘法分配律的廣泛應用價值。

特別二：數學中的變與不變

其實，通過對乘法分配律進行交流，學生感知了千變萬化的現象后面有很多不變的數學道理，這只是本節課的一個引子。接下來呈現的材料二才是一石激起千層浪，學生的思維一下子被打開了。

材料二：

觀察材料二，你還能找到什么變了，什么不變嗎？

異分母變成同分母，變就是為了不變。3個六分之一加上2個六分之一等于5個六分之一，即變是為了找到乘法分配律中不變的c，這里即是分數單位，分數加減法就是在計算幾個分數單位相加減的過程。孩子們有的整理了正反比例的例子，有的整理了等積變形的現象，有的整理了數量關系，還有的從觀察一組直柱體找到了它們的共性，即體積計算的方法可以表示為底面積乘高。

大家“哇——”的一聲，響起了熱烈的掌聲。可是郭欣宇同學還緊皺眉頭：“我還有一個問題沒有解決，當底面是圓形、長方形、正方形、三角形甚至梯形時我們都會算，可是如果是五角星、不規則圖形我們該怎樣計算它的面積呢？”

孩子們在交流中，不斷尋求變化后面的不變。

【設計說明】 當我們從一個新的視角回視所學知識時，會突然發現原來復雜的數學知識背后其實隱含著簡單的、根本的數學規律，原來很多數學知識都是萬變不離其宗。而這些數學規律能讓學生有能力把數學看得簡單，學得有趣。在大量的體驗感悟中，進一步提升學生對數學的認識——千變萬化背后蘊藏著不變的規律。這樣便激活了學生的思維，學生能夠從大腦中調取很多數學學習中變與不變的例子，初步培養了學生用數學的眼光看世界的意識。在交流中，學生敢于質疑，能提出真問題，更重要的是轉變了對待數學、對待學習的態度，敢于尋求真理。

特別三：大自然中的變與不變

在孩子們真正感受到數學千變萬化中不變的規律時，開普勒的一句名言可以領著他們走進自然課堂：數學就是研究千變萬化中不變的規律。最后在欣賞“斐波那契數列”的美中，孩子們對變與不變的感受有了進一步升華：美麗的大自然中就有我們不變的數學規律，數學太特別、太奇妙了！

【設計說明】讓孩子們體驗到，數學規律不僅存在于數學知識中，更存在于多姿多彩的大自然中。讓孩子們的數學眼光突破數學教材的壁壘，沖破數學知識狹小的空間，看向神奇的大自然。給孩子們一種眼光，一種數學的眼光，在那里尋找數學的奇妙之美。這就是我在前面說到的，“我想學生對數學的感覺會由枯燥繁難轉變為簡單神奇，甚至是感動和震撼。”endprint