淺談高中數學數形結合解決向量模的最值問題

李秀梅??

摘要：向量的模是平面向量的重要概念，體現了平面向量“數”與“形”雙重性的重要特征。向量模的最值之問題是歷年高考的熱點，本文以一例最值問題探究常用的幾種解題思路。同時要教育學生養成良好的解題習慣，提高自己的思維能力；培養學生善于質疑的習慣；養成解后反思的習慣；養成做筆記的習慣等。

關鍵詞：演算驗算習慣；解題習慣；質疑習慣；反思習慣；做筆記習慣

中學數學學習是小學到高中甚至更高一級學校數學學習的關鍵期，我們要把握這個關鍵期，不斷提高學習數學的效率，使學生獲得終身學習的能力，促進學生的可持續發展，使學生終身受益。俗話說：“教育，就是培養習慣”。作為數學教師，培養學生怎樣的學習習慣，直接影響數學教學質量的高低。在數學教學中，解題步驟是學生對題目深入思考的外在表現，是我們判斷學生解題能力強弱的依據，解答過程是否完整，思路是否清晰都能反應出學生對某個知識點的掌握程度。因此我們在教學中應注意培養學生的學習習慣，更要注意學習方法的培養。本文結合高中數學教學案例，就數形結合解決向量模的最值問題談幾點做法和體會。

向量的模是平面向量的重要概念，體現了平面向量“數”與“形”雙重性的重要特征。向量模的最值之問題是歷年高考的熱點，本文以一例最值問題探究常用的幾種解題思路。

試題呈現：

若點A在圓C：（x-1）2+（y+2）2=4上運動，點B在y軸上運動，則對定點P（3，2）而言，|PA+PB|的最小值為（）.

A. 3B. 5

C. 25-1D. 25+1

解法1：坐標法求動點軌跡

設A（x1，y1），B（0，y2），則PA+PB=（x1-6，y1+y2-4）.

若設r=|PA+PB|，則由題意可得（x1-6）2+（y1+y2-4）2=r2.即，點A在以D（6，4-y2）為圓心，以r為半徑的圓D：（x-6）2+（y+y2-4）2=r2上.

由圓C與圓D有公共點A可得r+2≥|CD|=（6-1）2+（6-y2）2≥5，從而r≥3.

故，答案為A.

點評：本法中利用坐標法確定點A的軌跡方程D：（x-6）2+（y+y2-4）2=r2.

根據圓C與圓D有公共點A可得兩兩圓心距不大于兩半徑之和，所以有r+2≥|CD|=（6-1）2+（6-y2）2≥5，從而r≥3.

解法2：利用模的坐標公式

設A（x1，y1），B（0，y2），則PA+PB=（x1-6，y1+y2-4）.

從而，|PA+PB|=（x1-6）2+（y1+y2-4）2≥（x1-6）2=6-x1≥3.

故，答案為A.

點評：本題方法與解法1的出發點相似，但該法是直接利用坐標代入模的計算公式，根據公式特點確定最值，這是模的最值中常用的基本方法之一。

解法3：三角代換

由點A在圓C上可設A（1+2cosθ，-2+2sinθ），B（0，t），

則PA+PB=（2cosθ-5，t+2sinθ-6）.

故|PA+PB|=（2cosθ-5）2+（t+2sinθ-6）2

≥（2cosθ-5）2=5-2cosθ≥3.故答案為A.

點評：點A坐標滿足圓的方程（x-1）2+（y+2）2=4故可設點A的坐標為（1+2cosθ，-2+2sinθ）然后借鑒解法2中的思路，表示出|PA+PB|的三角形式，利用三角函數最值方法得解。

解法4：數形結合法

設Q為AB的中點，則PA+PB=2PQ，過P，Q，A作y軸的垂線，垂足分別為P′，Q′，A′.

由于|PP′|≤|PQ|+|QQ′|=|PQ|+12|AA′|≤|PQ|+32，

因此|PQ|≥|PP′|-32=32，即|PA+PB|=2|PQ|≥3.

故，答案為A.

點評：本法中借助三角形中線的性質，取AB中點Q，可得PA+PB=2PQ.

此題即轉化為線段|PQ|的最值問題，過點P作y軸線，垂足為P′，由圖可知P，Q，P′三點共線時取得最小值。

解法5：利用對稱點轉化為定直線上的點與圓上點距離的最小值問題

設B′為點B關于點P的對稱點，則|PA+PB|=|PA-PB′|=|B′A|.

由于點B′在直線x=6上，點A在圓C：（x-1）2+（y+2）2=4上，可得|B′A|≥5-2=3.故答案為A.

點評：取點B關于點P的對稱點B′，則點B′在定直線x=6上，

故|PA+PB|轉化為直線x=6上與圓（x-1）2+（y+2）2=4上點的距離最小值問題，由圖可知其最小值為圓心到直線x=6的距離減去半徑可得。

以上方法看出解決向量模的最值問題的主要思路為“數”與“形”的結合，這是體現模的本質的基本思想，解題時應用坐標、軌跡等工具進行合理轉化，即可求得最值。

參考文獻：

[1]楊赫梁.淺談如何提高數學課堂教學有效性[J].中學數學，2015（7）.

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