一類定點問題的證明與推廣

陶文平??

摘要：圓錐曲線是高中數學的重點與難點，而曲線過定點問題是一類重要的題型，我們來研究一個拋物線過定點問題。

關鍵詞：圓錐曲線；拋物線；直線

圓錐曲線是高中數學的重點與難點，而曲線過定點問題是一類重要的題型，我們來研究一個拋物線過定點問題。

例1已知拋物線y2=2px（p>0），原點為O，且直線l與拋物線相交于A，B點，若OA⊥OB.求證：直線l過定點.

為證明上述結論，先給出一個結論：

引理1：已知拋物線y2=2px（p>0），過x軸上一定點C（c，0）的直線與拋物線相交于A，B點，則yA·yB=-2pc（定值）或xA·xB=c2（定值）.

證明：設直線l：x=my+c，聯立x=my+cy2=2px，消去x得，

y2-2pmy-2pc=0

所以yA·yB=-2pc，又yA2=2pxAyB2=2pxB，

所以xA·xB=yA22p·yB22p=（yA·yB）24p2=c2.

上述引理反過來也是成立的.

引理2：已知拋物線y2=2px（p>0），

（1） 若直線l與拋物線相交于A，B點，且yA·yB=-2pc（定值），則直線l必過x軸上一定點C（c，0）；

（2） 若直線l與拋物線相交于A，B點，且xA·xB=c2（定值），則直線l必過x軸上C1（-c，0），C2（c，0）中一點。

下用引理2來證明例1，

設A（xA，yA），B（xB，yB），由OA⊥OB，得xA·xB+yA·yB=0，

又因為xA·xB=（yA·yB）24p2，所以（yA·yB）24p2+yA·yB=0.即（yA·yB）·（yA·yB4p2+1）=0.

因為yA·yB≠0，所以yA·yB=-4p2，

由引理2得，直線l必過x軸上一定點C（2p，0）.

例2已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點（2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點，AF，BF的延長線與拋物線交于C，D兩點，求證：CD過一定點。

證明：由于AB過點（2，0），由引理1可得，yA·yB=-8，（1）

再由BD過點（1，0），由引理1可得，yB·yD=-4，（2）

同理yA·yC=-4，（3）

由（1）（2）（3）得yC·yD=-2，

由引理2得，直線CD必過x軸上一定點M12，0.

推廣到一般結論：已知拋物線y2=2px（p>0）有兩個定點M（a，0），N（b，0），過點M的直線l交拋物線于A，B兩點，AN，BN的延長線與拋物線交于C，D兩點，求證：CD過一定點。

證明：由于AB過點M（a，0），由引理1可得，yA·yB=-2pa，（1）

再由BD過點N（b，0），由引理1可得，yB·yD=-2pb，（2）

同理yA·yC=-2pb，（3）

由（1）（2）（3）得yC·yD=-2pb2a，

由引理2得，直線CD必過x軸上一定點M（b2a，0）.