創造虛實結合的數學世界

蔡蘇+劉恩睿+吳超+王宇華

【摘 要】增強現實（AR）在理科教育中的應用具有諸多優勢與潛力，數學中的空間幾何、邏輯推理等知識的學習可以充分運用增強現實技術的抽象內容可視化、情境性學習、自然交互等特點。本文首先簡要分析國內外關于增強現實在數學中應用的案例，然后介紹北京師范大學“VR/AR+教育”實驗室的三個數學AR應用的實證研究，最后探討了目前增強現實技術在數學教學應用中的特點和不足之處，并對未來增強現實技術在數學中的應用前景進行了展望。

【關鍵詞】增強現實；數學；數學教學

【中圖分類號】G434 【文獻標識碼】A

【論文編號】1671-7384（2017）12-0074-03

國際上AR在數學教學中的應用

基礎教育是目前國際上AR在數學中應用研究案例最多、最集中的領域。

韓國Lee等人的團隊采用了AR書本的模式[1]，制作了AR版的“大富翁”教育游戲。他們用游戲化的方式幫助小學生了解擲骰子這一生活中常見事件背后的數學知識。在這個案例中，研究者充分利用了AR虛實結合的特性，學生通過投擲真實世界中的骰子，AR應用通過攝像頭記錄點數并用于虛擬場景中角色的“前進”。與傳統游戲的不同在于，學生可以進行自然交互，即直接投擲一個真實的骰子，這也充分體現了AR的特點。該游戲在實際應用的過程中顯著提升了學生的參與程度。

中學階段，AR的數學應用研究更多關注對數學思維的培養和提升學習效果。學生從中學開始在學習中接觸到更多抽象、難以理解的概念，對探究能力和數學思維能力的要求也越來越高，更強調數形結合等思維能力。

如圖1所示，墨西哥的Salinas等人將AR應用于函數圖像學習，學生在一個真實的平面上使用AR構建坐標系，觀察常見函數的圖像，這種方式對于學生形象化思維的培養以及對函數的理解都有很大的幫助[2]。AR展示的場景是基于真實的三維場景，所以該應用不僅可以展示平面的函數圖像，還可以展示三維坐標系中的立體圖像[3]，結合AR的函數學習幫助學生在學習知識的同時提升學生的數學能力。

AR數學教學的實證案例

國內最早開展課堂內AR并一直探索的團隊是北京師范大學教育技術學院“VR/AR+教育”實驗室（http：//ar.bnu.edu.cn）。相對于國外學者主要關注AR與幾何學習的結合，“VR/AR+教育”實驗室設計和開發的案例涵蓋了代數、幾何、概率等數學分支，并深入教學一線進行實證研究，對于我國AR與數學整合具有重要的指導意義。

1.AR代數應用——復數及其運算

復數是高中數學內容，對于學生來說，復數的概念顯得難以理解，而復數運算法則如果不借助圖像也難以理解。在傳統的教學場景中，教師只能告訴學生復數的運算公式。而借助AR手段，學生可以對復數的加法、乘法規則進行探究式學習。

如圖2，學生用兩張標記卡片代表兩個不同的復數。應用會捕捉兩個標記的位置，并轉化為兩個復向量，給出復數表示形式。在向量的平行四邊形法則的基礎上，學生觀察到兩個向量和向量的表示法。學生改變兩個標記的位置，可以觀察到不同的復數及其相加之后的和的表示形式，并據此自己總結出復數的加法公式。同樣的，向量的乘積也可以類似直觀表現出來。

此案例在四川省成都市郫縣一中進行了教學實驗，對象是該校高一學生6人和高三學生6人。教師首先引出復數的概念，之后借助AR來介紹復平面與復向量。學生兩人一組進行協作學習，使用AR探究復數的運算法則。實際使用效果表明，任課教師認為AR應用充分調動了學生學習的積極性。學生表示通過AR來觀察復數及其運算，對于復數的概念和它的實際意義有了更深入的認識。

通過探究學習，學生深入理解復數與復平面上向量的對應關系，理解復數加法和乘法的原理。這樣通過觀察、記錄，最后總結出結論的方式，其實是科學研究中最為基本的手段。AR應用作為探究式學習的手段，促進了學生的理解，提升了學生的探究能力。

2.AR幾何應用——三視圖

將幾何體的直觀圖和三視圖聯系起來，會畫簡單幾何體的三視圖是初中數學立體幾何的教學目標。由于學生在初中階段接觸平面幾何為主，在接觸立體幾何時，由于空間想象力不足而存在著一定的困難。

北京師范大學“VR/AR+教育”實驗室設計和開發的AR三視圖案例就是幫助學生檢驗學習成果并驗證結論的。在本案例中，學生將結合一套實物卡片和AR應用進行學習。

共有兩類卡片，一類卡片上寫有幾何體名稱，如“長方體”“圓柱”，另一類卡片上繪制三視圖。如圖3，學生將兩類卡片組合，如果組合正確，可在平板電腦上看到幾何體。學生可拖曳、旋轉幾何體進行觀察，也可以調整攝像頭的位置，從不同角度觀察。

此案例中，AR將抽象化內容具體化、形象化的特征得到了很好的應用，學生可以觀察從簡單到復雜的各類不同空間幾何體。相對于傳統教學手段中學生只能通過想象或制作實物模型來學習幾何體的三視圖而言，增強現實技術實現了學生對任意幾何體的觀察，并且可以直接通過移動平板電腦的攝像頭來從不同的角度進行觀察。這對于學生理解投影、三視圖等幾何概念有很大的幫助。

本案例也在北京市育英學校的七年級學生中進行了實際試用。結果表明，學生在使用AR輔助三視圖學習之后，在相關練習題的正確率和做題時間上都有進步，且學生們對于AR應用的接受度和滿意度都較高。

3.AR概率統計應用——探究式學習頻率與概率

概率與統計是數學中的重要內容。在多媒體教學時代，概率和統計學習中常見的工具有動畫、Excel表格或者各類統計軟件，但這些工具都服務于教師的課堂教學，屬于典型的CAI（Computer Assisted Instruction，計算機輔助教學）應用，學生缺乏參與感。

以初中數學《頻率和概率》為例，學生要了解頻率和概率兩個概念之間的關系，可以通過試驗總結。以經典的拋硬幣實驗為例，教師可以組織學生在課堂中完成拋硬幣并繪制頻率曲線圖的探究式學習活動，但是需要學生手動繪制圖像，學生在做試驗的同時計算并畫圖，在有限的課堂時間內很難做到高效。另一種方法，比如使用Flash進行模擬并直接生成頻率曲線圖，但學生缺乏真實拋硬幣的參與感，并且不信任計算機隨機給出的結果。而AR就可以解決這個矛盾。

此案例中，學生使用AR應用作為探究式學習工具[4]。學生拋硬幣，硬幣的兩面如圖4，用AR應用來記錄結果。每次結果被成功記錄后，系統會給出提示，應用會自動生成此時硬幣正面朝上的頻率曲線。這樣既簡化了記錄和計算、繪圖的過程，又保留了學生的親自參與感。

使用AR進行探究學習，提升了探究學習活動的效率，在有限的課堂時間內可以進行多次試驗，學生更能理解兩個概念的區別和聯系。同時，此案例還可幫助教師將學生的試驗結果匯總，繪制出試驗次數更多的曲線圖。學生借助于AR親自探究得出結論，保留了自然的交互方式——在真實的環境中投硬幣，充分發揮了AR的優勢所在。

圖5 用于AR教學的硬幣正、反面圖像

Android用戶掃描二維碼關注“教育新技術”公眾號，回復“AR數學”， 下載apk，安裝后打開軟件分別掃描圖5兩幅圖，可以體驗拋硬幣游戲。

此案例中，AR并非用于展示，而是用于探究。體現了信息技術與課程深層次整合的信息獲取、多重交互、自我探究和協作學習等特征[5]，也給AR在教學、學習當中的應用提供了新的思路。

總 結

AR的數學應用在時間上涵蓋了從學前教育到高等教育的各個階段，在范圍上也可以涵蓋數學的不同分支。從教學和學習的方式上看，AR既可以用于內容展示，也可以用于探究式學習、提供深層次的交互。隨著技術的不斷發展進步，AR內容制作的成本和門檻會繼續降低，這給AR內容走進數學課堂提供了更多機遇。

在數學中，大多數的AR應用案例是將AR作為一種展示內容的手段和媒體使用。這在一定程度上體現了AR的優勢和特色，但沒有發揮AR的獨特優勢。未來的數學AR應用，應該更加重視學習活動設計，讓AR應用不僅作為教師教學的輔助工具，并且更好地融入學生的學習過程中，與不同學習方式結合，發揮AR的更多優勢和特色。通過綜合多種教學、學習方式以及學習活動設計，使AR作為一種新的學習環境對教和學都產生積極的影響[6]。

未來的數學AR教育應用還需要更好的教學設計，將增強現實作為促進學習問題解決的一種技術更好地融入到學習場景當中。