基于微積分思想的幾何應用

□何 瓊 馬冬文

（江西工業貿易職業技術學院 江西 南昌 330038）

基于微積分思想的幾何應用

□何 瓊 馬冬文

（江西工業貿易職業技術學院 江西 南昌 330038）

高等數學是大學數學開設的一門重要課程，旨在微積分思想的學習，本文從曲邊梯形面積求解的過程理解微積分，并引出定積分的定義，然后對這個定義進行特殊化，從而有了一系列的應用，為今后的學習作好鋪墊和借鑒。

微積分；定積分定義應用；二重積分

微積分概括起來，主要有四種類型的問題：第一類是物理問題，研究物體的運動狀態，也就是變速直線運動中求瞬時速度的問題。第二類是幾何問題，求曲線在某一點處的切線。第三類問題是函數問題，求函數在某區間上的最大值和最小值。第四類問題是求曲線弧長、若干條曲線圍成圖形的面積、若干個曲面圍成立體的體積，還有不規則物體的重心、物體外一點對物體的引力。其中第四類問題中求若干曲線圍成圖形的面積，演化為求曲邊梯形的面積，這就是微積分思想的核心定義——定積分的定義。

1 定積分的定義

定積分的定義就從求解曲邊梯形面積的角度去理解，由曲線y=f(x)，直線x=α,x=b以及x軸所圍的圖形，稱為曲邊梯形，求其面積需要分四個步驟求解。

第一步，概括為“分割”，將區間[α,b]分割成n份，α=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b每一小份的長度記為△xi=xi-xi-1(i=1,2,…)。

第二步，歸納為“取近似”，將分割的每個小的曲邊梯形近似為長方形，求其面積，近似為求長方形的面積，長方形面積是長乘以寬，在區間[xi-1,xi]上任意取一點ξi，以此點在曲線上的高度f(ξi)為高，以△xi為寬，長方形面積就是△Ai≈f(ξi)·△xi。

第三步，簡稱為“求和”，我們需要求的是整個曲邊梯形的面積，上一步只求了其中一小塊面積的近似值，所以整個面積是將所有小塊面積相加

最后一步，為了到達精確，完成求曲邊梯形的面積的真實值，需將第一步無限分割下去，總結為“求極限”，注意到第一步的分割是隨意分割的，為描述無限分割，記，那么當λ→0，就說明所有的小段均趨向于零，ξi、xi-1、xi三點就無限靠近，幾乎重合，高f(ξi)就成為某一點處的高度，就可以計算出真實面積，將此定義為定積分

2 定積分定義應用于求極限

現在將上述第一步和第二步進行特殊化，第一次特殊化是將區間[α,b]任意的分割，換成特意分成n等份，每一段的長度就為；第二次在區間[xi-1, xi]上任意取一點ξi，由于是在閉區間上取得點可以任意取，所以ξi取右端點xi，那么第三次，取α=0,b=1，則,那么，這樣一來，定積分的定義式變成了如下模樣：

由我們推到出來的等式，可以用來求解較復雜的數列極限，下面給兩個例題進行說明。

3 應用的升華

我們上面特殊化的第二步：ξi取右端點xi，當然也可以取左端點xi-1，定積分定義式又可以變成此外，還可將其推廣到二重積分：積分區域D取作正方形D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，用平行于x軸和平行于y軸的直線分割成小矩形，分割出來的一小塊的面積在小塊矩形內任取的點取特殊化那么二重積分就變成

它可用于求解二重積分。

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.22.108

1004-7026（2017）22-0137-01

O172-4;G642

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