微積分中的不等式證明方法

厲文偉

摘要：不等式的證明是數學領域一塊非常有魅力的內容，通過對不等式的證明的一些常見方法的研討，讓人感受到數學之美，在解決不等式的問題研究中鍛煉自己的解題能力、數學思維能力，體驗解決問題的樂趣與成就感。

關鍵詞：微積分；不等式；證明；方法；能力

在初等數學或是高等數學中， 不等式都是十分重要的內容，并且是一種被廣泛使用的技巧性工具，而不等式的證明又是不等式知識的重要組成部分，中學里證明不等式的方法有很多，比較法、分析法、綜合法、反證法、數學歸納法、放縮法、判別式法、換元法等等 ，。相對于等式的可確定性，不等式更像是確定一個界限，制定一個條件來規范和劃定一個范圍，所以不等式的證明是非常有趣和富有挑戰的。 下面要介紹的不等式的一些證明方法，是利用高等數學中微積分的知識，通過學習這些證明方法，可以幫助我們培養邏輯推理論證能力和抽象思維的能力，完善不等式證明方法。

1利用函數單調性證明不等式

定義：函數的單調性（monotonicity）也叫函數的增減性，可以定性描述在一個指定區間內，函數值變化與自變量變化的關系。當函數f（x） 的自變量在其定義區間內增大（或減小）時，函數值也隨著增大（或減小），則稱該函數為在該區間上具有單調性（單調增加或單調減少）

利用 公式證明函數不等式步驟：

（1）構造一個函數 ，選一個展開點 ，然后寫出 在 處的帶有拉格朗日余項的 公式

（2）通常把端點、分點、零點、極值點、最值點、拐點等選作展開中心。此外，區間中的任意點也是分析函數性質不可或缺的點

（3）根據所給的最高階導數的大小，函數的界或三角形不等式對 進行放縮。

不等式的證明還可以利用定積分性質中的估值定理、積分中值定理、柯西-許瓦茲不等式等來解決。endprint